- ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
обобщенной функции - расширение операции преобразования Фурье с основных функций на обобщенные функции. Пусть К - пространство основных функций, на к-ром определена операция преобразования Фурье F,
причем F- изоморфизм Кна пространство основных функций
Тогда операция преобразования Фурье 
определяемая на пространстве обобщенных функций 
равенством 
осуществляет изоморфизм 
на пространство основных функций К'.
Примеры. 1)
Здесь обратной операцией к Fслужит операция 
и справедливы основные формулы для
2)
где 
-совокупность функций 
таких, что 
и 
3) K = D,
где Z - совокупность целых функций 
удовлетворяющих условию роста; существует число 
что для любого 
найдется С N > 0 такое, что 
Ряды Фурье обобщенной функции. Если обобщенная функция f-периодическая с n-периодом Т = (Т 1, ..., Т п), Tj> 0, то
и ее можно разложить в тригонометрич. ряд 
сходящийся к f в S'; здесь
Примеры. 4)
в частности 
5)
в частности 
6)
где 
-функция Хeвисайда. Преобразование Фурье свертки обобщенных функций. Пусть прямое произведение
обобщенных функций f и gиз 
допускает расширение на функции вида 
Именно, пусть для любой последовательности 
из 
со свойствами:
(равномерно на любом компакте), числовая последовательность 
имеет предел, обозначаемый 
не зависящий от последовательности 
из указанного класса. В этом случае функционал f*g, действующий по формуле 
наз. сверткой обобщенных функций f и g,
Свертка существует не для любых пар обобщенных функций f и g. Она заведомо существует, если при любом R> 0 множество 
ограничено в
(в частности, если f или gфинитна). Если свертка f * g существует, то она коммутативна, f * g = g* f, и коммутирует со сдвигом и с производной: 
-функция Дирака играет роль лединицы
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
