БРАУЭРА ГРУППА это:

БРАУЭРА ГРУППА

поля k - группа классов конечномерных центральных простых алгебр над полем k, относительно эквивалентности, определенной следующим образом. Две центральные простые k-алгебры А к В конечного ранга эквивалентны, если существуют такие целые положительные числа ти п, что тензорные произведения являются изоморфными k-алгебрами (здесь алгебра квадратных матриц порядка rнад k).

Тензорное умножение алгебр индуцирует на множестве классов эквивалентных центральных простых конечномерных алгебр структуру абелевой группы, к-рая и наз. Б. г. поля kи обозначается Brk. Нулевым элементом этой группы служит класс полных матричных алгебр, а обратным элементом к классу алгебры А - класс ее инверсной алгебры. Каждый ненулевой класс содержит ровно одну, с точностью до изоморфизма, k-алгебру с делением (т. е. тело над k).

Б. г. была определена и изучалась в серии работ Р. Брауэра (R. Вrauer), Э. Нётер (Е. Noether), A. Алберта (A. Albert), X. Хассе (Н. Hasse) и др. начиная с 20-х гг. 20 в. (см., напр., [6]). Наиболее законченные результаты, вплоть до полного вычисления Б. г., были получены для числовых полей в связи с развитием полей классов теории. В терминах Б. г. формулируется общая форма закона взаимности.

Б. г. равна 0 для любого сепарабельно замкнутого поля и любого конечного поля. Для поля действительных чисел Б. г. есть циклич. группа 2-го порядка и ее ненулевой элемент - класс алгебры кватернионов. Если k - поле р-адических чисел или любое полное дискретно нормированное локально компактное поле, то его Б. г. изоморфна (здесь Q - аддитивная группа рациональных чисел, Z - аддитивная группа целых чисел). Этот факт занимает важное место в локальной теории полей классов.

Пусть k- поле алгебраич. чисел конечной степени или поле алгебраич. функций от одной переменной с конечным полем констант. Тогда имеет место точная последовательность групп:

где n пробегает всевозможные нормирования поля k, -соответствующие пополнения поля k, гомоморфизм inv индуцируется естественными вложениями Образ элемента из в наз. локальным инвариантом, гомоморфизм е является суммированием локальных инвариантов. Этот факт устанавливается в глобальной теории полей классов. Если fe- поле алгебраич. функций от одной переменной над алгебраически замкнутым полем констант, то его Б. г. нулевая (теорема Тзена). Случай произвольного поля констант разобран в [4] и [7].

Б. г. функториально зависит от fe, т. е. если К - расширение поля fe, то определен гомоморфизм Вr . Его ядро, обозначаемое , состоит из классов алгебр, распадающихся над К.

Конструкции скрещенных произведений с помощью систем факторов (см. [5]) приводят к когомологич. Интерпретации Б. г. Для любого нормального расширения K/k имеет место изоморфизм


где - группа двумерных когомологий Галуа с коэффициентами в мультипликативной группе поля К. Более того, группа изоморфна , где - сепарабельное замыкание поля k. Сопоставление центральной простой алгебре ее класса в Б. г. осуществляется при помощи кограничного, оператора


в когомологич. последовательности, соответствующей точной последовательности групп


где и - линейная и проективная группы матриц порядка . Здесь группа интерпретируется как множество классов с точностью до k-изоморфизма центральных простых алгебр ранга над полем k, распадающихся над k, или как множество классов k-изоморфных Брауэра - Севери многообразий размерности , имеющих К- точку.

Б. г. всегда является периодической группой. Порядок любого ее элемента делит число , где - ранг тела, представляющего этот элемент.

Когомологич. интерпретация Б. г. позволяет рассматривать ее как группу классов центральных расширений группы Галуа сепарабельного замыкания при помощи группы .

Обобщением понятия Б. г. является группа. Брауэра- Гротендика, определяемая аналогично Б. г. с заменой центральных простых алгебр на алгебры Адзумая (см. [7]).

Лит.:[1]Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1960; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Серр Ж.-П., Когомологий Галуа, пер. с франц., М., 1968; [4] Фаддеев Д. К., "Вестник Ленингр. ун-та", 1957, № 7, в. 2, с. 45-51; [5] Чеботарев Н. Г., Введение в теорию алгебр, М.- Л., 1949; [6] Dеuring М., "Algebren", 2 Aufl., В., 1968, Bd 4; [7] Grothеndieсk A., в кн.: Dix exposes sur la cohomdlogie des schemax, Amst., 1968, p. 46-188. . В. А. Псковских.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "БРАУЭРА ГРУППА" в других словарях:

  • БРАУЭРА - СЕВЕРИ МНОГООБРАЗИЕ — алгебраическое многообразие над полем k, которое, если его рассматривать над алгебраич. замыканием поля , изоморфно проективному пространству. Арифметич. свойства таких многообразий изучал Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА КОГОМОЛОГИИ — когомологии Галуа группы. Если М абелева группа и группа Галуа расширения , действующая на М, то когомологии Галуа есть группы когомологии определяемые комплексом состоит из всех отображений , a d кограничный оператор (см. Когомологии групп).… …   Математическая энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБР — группы (см. ФункторExt), где D ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом Кс фиксированным гомоморфизмом K алгебр позволяющим рассматривать кольцо Ккак Л модуль, a А есть R модуль. Это определение охватывает наиболее распространенные теории… …   Математическая энциклопедия

  • КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, изучающий свойства коммутативных колец и связанных с ними объектов ( идеалов, модулей, нормирований и т. д.). К. а. выросла из задач, возникавших в теории чисел и алгебраич. геометрии. Задачи эти, как правило, относились к… …   Математическая энциклопедия

  • Алгебраическая топология — Алгебраическая топология (устаревшее название: комбинаторная топология) раздел топологии, изучающий топологические пространства путём сопоставления им алгебраических объектов (групп, колец и т.д.) а также поведение этих объектов под… …   Википедия

  • ИНТУИЦИОНИЗМ — совокупность философских и математич. идей и методов, рассматривающих математику как науку об умственных построениях. С точки зрения И., основным критерием истинности математич. суждения является интуитивная убедительность возможности построения… …   Математическая энциклопедия

  • КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — гомоморфизм конечной группы Gв группу обратимых линейных операторов в векторном пространстве над полем К. Теория К …   Математическая энциклопедия

  • Небесная механика —         раздел астрономии, изучающий движения тел Солнечной системы в гравитационном поле. При решении некоторых задач Н. м. (например, в теории движения комет) учитываются также и негравитационные эффекты: реактивные силы, сопротивление среды,… …   Большая советская энциклопедия

  • ПОЛЕЙ КЛАССОВ ТЕОРИЯ — теория, дающая описание всех абелевых расширений (конечных расширений Галуа с абелевой группой Галуа) поля К, принадлежащего к одному из следующих типов: 1) К поле алгебраич. чисел, т. е. конечное расширение поля ; 2) К конечное расширение поля… …   Математическая энциклопедия

  • ГОМОЛОГИИ ТЕОРИЯ — топологических пространств часть алгебраич. топологии, осуществляющая связь между топологич. н алгебраич. понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространств… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»