СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ

гомологии, определяемые исходя из сингулярных симплексов топология, пространства Xтаким же образом, как обычные (симплициальные) гомологии (и когомологии) полиэдра - исходя из линейных симплексов. Под сингулярным симплексом sⁿ понимается непрерывное отображение n-мерного стандартного симплекса Dⁿ в X, причем образ sⁿ обычно наз. носителем sⁿ и обозначается |sⁿ|. Сингулярные цепи - это формальные линейные комбинации сингулярных симплексов коэффициентами в абелевой группе G. Они образуют группу S_n(X; G), изоморфную прямой сумме групп G₀n=G (по всем sⁿ). Группы цепей объединяются в сингулярный цепной комплекс S_*(X; G).с граничным гомоморфизмом д:S_n(X; G)S_n-1(X; G), определяемым соотношением

где - композиция с sⁿ стандартного наложения D^n-1 на i-ю грань Dⁿ. Как обычно, циклами считаются цепи, принадлежащие ядру, а границами - цепи, содержащиеся в образе д ⁿ. Группа n-мерных сингулярных гомологии определяется как факторгруппа группы n-мерных циклов по подгруппе границ.

Если , то группы определяются подкомплексом в S_*(X; G), состоящим из всех цепей с носителями в А, а группы пары - соответствующим факторкомплексом. Имеет место точная гомологич. последовательность

являющаяся ковариантным функтором на категории пар (X, А).топологич. пространств и их непрерывных отображений.

Гомоморфизм d определяется границей в Xцикла пары (X, А), представляющего соответствующий элемент из . С. г.- гомологии с компактными носителями в том смысле, что группы Xравны прямому пределу гомологии компактных .

Сингулярные когомологии определяются дуальным образом. Комплекс коцепей S*(X; G).определяется как комплекс гомоморфизмов в Gкомплекса целочисленных сингулярных цепей S_*(X;). Менее формально, коцепи - это функции x, определенные на сингулярных симплексах и принимающие значения в G, а пограничный гомоморфизм dопределяется формулой

Сингулярные когомологии - это факторгруппы групп n-мерных коциклов (ядер d).по подгруппам кограниц (образов d). Когомологии подпространства Асовпадают с когомологиями ограничения S*(X; G).на А, в то время как когомологии пары - с подкомплексом в S*(X; G), состоящим из всех коцепей, обращающихся в нуль на сингулярных симплексах из А. Имеет место точная последовательность

являющаяся контравариантным функтором (X, А). Отображение d определяется кограницей в Xкоцикла из А, представляющего нужный элемент .

Гомологии и когомологии с коэффициентами в произвольной группе Gмогут быть выражены через целочисленные гомологии с помощью формул универсальных коэффициентов. Когомологии с коэффициентами в группе Gсвязаны с целочисленными когомологиями формулами универсальных коэффициентов только для конечно порожденных групп G.

В категории полиэдров сингулярная теория эквивалентна симилициальной (а также клеточной). Этим обычно устанавливается топологич. инвариантность последних. Однако значение групп С. г. этим не исчерпывается. Имея простое описание, они применимы в достаточно широких категориях топологич. пространств, гомотопически инвариантны. Естественные связи с теорией гомотопий делают сигнулярную теорию незаменимой в гомотопич. топологии.

Однако, хотя группы С. г. определены для любых топологич. пространств без каких-либо ограничений, их применение оправдано лишь при существенных ограничениях типа локальной стягиваемости или гомологической локальной связности. Сингулярные цепи, будучи по своей природе "слишком" линейно связными, не несут в себе информацию о "непрерывных" циклах, если они не являются "достаточно" линейно связными. Возможны и другие "аномалии" (напр., гомологии компактных подпространств евклидова пространства могут отличаться от нуля в сколь угодно высоких размерностях, гомологии и когомологии пары (X, А).могут неизоморфно отображаться при отображении Xна факторпространство X/А, отвечающее замкнутому подмножеству , и т. п.). Поэтому в общих категориях топологич. пространств вместо сингулярных обычно используются когомологии Александрова - Чеха и ассоциированные с ними гомологии. Эти теории свободны от указанных недостатков и совпадают с сингулярной всякий раз, когда ее применение не вызывает сомнений.

Лит.:[1]Дольц А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976; [2] Масси У., Теория гомологии и когомологии, пер. с англ., М., 1981, гл. 8-9; [3] Скляренко Е. Г., "Успехи матем. наук", 1979, т. 34, в. 6, с. 90-118; [4] Мassеу W., Singular homology theory, N. Y., 1980.

Е. Г. Скляренко.