СВЯЗНОСТЬ

- свойство топологич. пространства, состоящее в том, что пространство нельзя представить в виде суммы двух отделенных друг от друга частей, или, более строго, непустых непересекающихся открыто-замкнутых подмножеств. Пространство, не являющееся связным, наз. н е с в я з н ы м. Напр., обычная евклидова плоскость - связное пространство; если удалить из нее точку, то остаток связен; если удалить какую-нибудь окружность, не сводящуюся к точке, то остаток уже несвязен.

Абстрактное свойство С. выражает интуитивное представление о С. пространства в единое целое, об отсутствии в нем каких-либо изолированных "островков". С. топологич. пространства сохраняется при гомеоморфизмах и является одним из важнейших свойств топологич. пространства.

Подмножество топологич. пространства наз. связным, если оно - связное подпространство. После введения этого понятия можно утверждать, что пространство связно, если любые его две точки лежат в нек-ром связном подмножестве, т. е. их можно соединить нек-рым связным множеством. С этой точки зрения абстрактное свойство С. можно рассматривать как обобщение л и н е й н о й с в я з н о с т и, т. е. свойства пространства, заключающегося в возможности связать любые его две точки нек-рым путем - непрерывным образом отрезка. Открытое связное подмножество наз. о б л а с т ь ю. Области и выпуклые подмножества в евклидовых пространствах являются линейно связными и, тем более, связными.

Если семейство связных подмножеств имеет непустое пересечение, то объединение этого семейства - связное множество. Для всякой точки топологич. пространства объединение всех связных подмножеств, ее содержащих, есть наибольшее связное подмножество, ее содержащее, оно наз. к о м п о н е н т о й этой точки. Компоненты - замкнутые множества, различные компоненты не пересекаются.

К в а з и к о м п о н е н т о й точки наз. пересечение всех содержащих ее открыто-замкнутых подмножеств. Компонента точки содержится в ее квазикомпоненте. В бикомпактных пространствах компоненты и квазикомпоненты совпадают.

Пространство наз. наследственно несвязным (дисперсным), если все его компоненты одноточечны, т. е. все его связные подмножества только одноточечны. Пространство наз. вполне несвязным (нигде не связным), если все его квазикомпоненты одноточечны. Пространство наз. экстремально несвязным, если замыкание любого открытого множества открыто. Хаусдорфово экстремально несвязное пространство вполне несвязно, а всякое вполне несвязное пространство наследственно несвязно. Существует связное пространство, содержащее точку дисперсии, но удалении к-рой остаток есть вполне несвязное пространство. Пример - Куратовского - Кнастера веер.

Связное бикомпактное пространство наз. континуумом. Пересечение убывающего семейства непустых континуумов есть непустой континуум. Однако никакой континуум нельзя разложить в объединение счетного семейства непустых непересекающихся замкнутых подмножеств (теорема Серпиньского).

Пространство наз. н е п р и в о д и м ы м между нек-рыми своими двумя точками, если оно связно и эти две точки нельзя соединить никаким связным множеством, отличным от всего пространства. Всякий континуум для любых своих двух точек содержит неприводимый между ними подконтинуум (т е о р е м а М а з у р к е в и ч а - Я н и ш е в с к о г о).

Пространство наз. л о к а л ь н о с в я з н ы м в точке, если всякая окрестность этой точки содержит нек-рую связную ее окрестность.

Пространство наз. с в я з н ы м в размерности п, если каждое непрерывное отображение n-мерной сферы в него продолжается до непрерывного отображения n-мерного шара. С. в размерности 1 эквивалентна тривиальности фундаментальной группы пространства.

Непрерывное отображение одного топологич. пространства в другое наз. м о н о т о н н ы м, если прообраз каждой точки - связное подмножество. Для замкнутых отображений монотонность эквивалентна связности прообраза каждого связного подмножества.

Лит.:[1] А л е к с а н д р о в П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] К у р а т о в с к и й К., Топология, пер. с англ., т. 2, М., 1969. В. И. Малыхин.