Вы можете отметить интересные вам фрагменты текста, которые будут доступны по уникальной ссылке в адресной строке браузера.


СВЕРТКА

Перевод
СВЕРТКА

ф у н к ц и й f (x) и g (x), принадлежащих ,- функция h(x), определяемая равенством


и обозначаемая символом (f*g)(x). Функция f*g определена почти всюду и также принадлежит Свертка обладает основными свойствами операции умножения, а именно:


для любых трех функций из . Поэтому с обычным сложением и умножением на число, с операцией С. в качестве умножения элементов из и с нормой


превращается в банахову алгебру (при такой норме . Если F[f] - преобразование Фурье функции f, то и это используется при решении ряда прикладных задач. Так, если задача сведена к интегральному уравнению вида

(*) где

то в предположении, что , применяя к уравнению (*) преобразование Фурье, получают


откуда

и обратное преобразование Фурье приводит к решению


уравнения (*).

Свойства С. функций находят важные приложения в теории вероятностей. Если f(x)и g(x)являются плотностями вероятности независимых случайных величин Xи Y, то С. (f*g)xесть плотность вероятности случайной величины X+Y.

Операция С. распространяется на обобщенные функции. Если fи g - обобщенные функции, из к-рых по крайней мере одна имеет компактный носитель, и j (х)принадлежит пространству основных функций, то f*g определяется равенством


где - прямое произведение обобщенных функций f и g,т. е. функционал в пространстве основных функций двух независимых переменных такой, что


для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции и(х, у).

С . обобщенных функций также обладает свойством коммутативности, линейности по каждому аргументу, а если по крайней мере две из трех обобщенных функций имеют компактные носители, то и свойством ассоциативности. Справедливы равенства:


где Dоператор дифференцирования и a - любой мультииндекс, , в частности , где d - дельта-функция, и если fn, n=1, 2,. . .,- обобщенные функции такие, что и существует компакт

то

Наконец, если g - финитная обобщенная функция и f - обобщенная функция медленного роста, то к f*g применимо преобразование Фурье и снова


С. обобщенных функций широко используется при решении краевых задач для уравнений с частными производными. Так, интеграл Пуассона, написанный в виде


дает решение уравнения теплопроводности для бесконечного стержня, когда начальная температура m(х)может быть не только обычной, но и обобщенной функцией.

Понятие С. как обычных, так и обобщенных функций естественным образом переносится на случай функций многих независимых переменных: надо в предыдущем считать х, у не действительными числами, а векторами из

Лит.:[1] В л а д и м и р о в В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [2] Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1958; [3] Т и т ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.- Л., 1948. В. И. Соболев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

См. также в других словарях:

  • свертка — сущ., кол во синонимов: 2 • свертывание (37) • свёртка (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • Свертка — свёртка ж. разг. действие по гл. свертеть I 1. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

  • Свертка — Свёртка многозначный термин: В математике: Свёртка (математический анализ) Свёртка тензора Свёртка списка Свёртка (информатика) алгоритм …   Википедия

  • свертка — Syn: свертывание, уплотнение, сжатие Ant: развертка …   Тезаурус русской деловой лексики

  • свертка — СВЁРТКА см. Сверну/ть …   Энциклопедический словарь

  • СВЕРТКА ТЕНЗОРА — операция тензорной алгебры, ставящая в соответствие тензору , , тензор (здесь свертка производится по паре индексов i1, jq). Аналогично определяется С. т. по любой паре верхнего и нижнего индексов, р кратная С. т., р раз ковариантного и рраз… …   Математическая энциклопедия

  • Свертка тензора — Свёртка в тензорном исчислении операция понижения валентности тензора на 2, переводящая тензор валентности (m,n) в тензор валентности (m − 1,n − 1). В координатах она записывается следующим образом: где применено правило суммирования Эйнштейна по …   Википедия

  • Свертка (математический анализ) — Свёртка функций в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1… …   Википедия

  • Свертка распределений — Свёртка функций в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1… …   Википедия

  • Свертка списка — В программировании свёртка (англ. folding, также известна как reduce и accumulate)  функция высшего порядка, которая производит преобразование структуры данных к единственному атомарному значению при помощи заданной функции. Операция свёртки… …   Википедия

Книги

  • Я иду тебя искать, Ситников Ю.. Одноклассник Глеба Витька Комаров пропал в самом начале учебного года. В день исчезновения его видели в машине бизнесмена Степанова, который упорно отрицает факт знакомства с Витькой. Сам… Подробнее  Купить за 172 руб
  • Я иду тебя искать, Ситников Юрий. Одноклассник Глеба Витька Комаров пропал в самом начале учебного года. В день исчезновения его видели в машине бизнесмена Степанова, который упорно отрицает факт знакомства с Витькой. Сам… Подробнее  Купить за 165 руб
  • Я иду тебя искать, Юрий Ситников. Одноклассник Глеба Витька Комаров пропал в самом начале учебного года. В день исчезновения его видели в машине бизнесмена Степанова, который упорно отрицает факт знакомства с Витькой. Сам… Подробнее  Купить за 163.4 руб
Другие книги по запросу «СВЕРТКА» >>