РИЧАРДСОНА ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ

- метод ускорения сходимости решений разностных задач (см. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной). Основная идея метода состоит в исследовании решения и _h,(x) сходящейся разностной задачи при фиксированных хкак функции параметра hразностной сетки, стремящегося к нулю, в подборе подходящей интерполяционной функции c(h), построенной по нескольким значениям решения и _h, (х). при различных h, и вычислении величины c(0), являющейся приближенным значением искомого решения и(х) - предела последовательности u_h (х)при . Чаще всего функция c(h). ищется в виде интерполяционного многочлена от h.

Метод носит имя Л. Ричардсона [1], к-рый впервые использовал его как средство для улучшения точности решений разностных задач и называл постепенным п е р е х о д о м к п р е д е л у.

Теоретич. основой применимости метода служит существование разложения вида

где и функции не зависят от h,a h_h,(x) - значения сеточной функции, ограниченные при . Имеется несколько теоретич. приемов для выяснения существования таких разложений [4].

Чаще всего используется линейная экстраполяция: с помощью m значений u_h (х)в одной точке x для различных параметров h=h₁, . . ., h_m вычисляется экстраполированное значение и _H (х)по правилу

где веса определяются из системы уравнений:

Если среди нет слишком близких значений, то

где , то есть величина u_H(x)сходится к и(х)

при с порядком В, что больше b₁ - порядка сходимости u_h (х)к и(х). В двух частных случаях существуют алгоритмы вычисления величины и _H (х), минуя определение коэффициентов :

а) в случае b_i = iр, р> 0, i =1, . . ., т -1, метод приводит к интерполяции многочлена от и из свойств Лагранжа интерполяционной формулы следует, что

где

(*)

б) в случае , формула (*) заменяется следующей:

Этот алгоритм, называемый п р а в и л о м Ромберга (W. Romberg, 1955), нашел распространение при конструировании квадратурных формул (см. [5]). Для того чтобы при различных h_i сетки (см. Аппроксимация дифференциального оператора разностным).имели возможно больше общих узлов для осуществления Р. э., параметры h_i выбирают как часть одной из последовательностей: h_i=h₀/i, i=l, 2, ...; h_i=h₀2^1-i, i=1, 2, ...; h₀, h₀/2, h₀/3, h₀/4, h₀/6, h₀/8, h₀/12,... .

Линейная экстраполяция не является единственно возможной. Напр., в случае b_i=iр, р> 0, в качестве интерполяционной функции c(h) используют рациональные функции вида j(h^p)/y(h^p), где j(t), y(t)-многочлены от tстепени [(m -1)/2] и [m/2] соответственно. Тогда результат рациональной экстраполяции и _H (х)=c(0) может быть вычислен с помощью рекуррентной процедуры:

Р. э. удобна для реализации на ЭВМ, поскольку для достижения высокой точности использует многократное решение простых разностных задач (иногда с небольшими модификациями) невысокого порядка аппроксимации, для к-рых обычно хорошо разработаны стандартные приемы решения и программы для ЭВМ. Лит.:[1] R i c h a r d s o n L. F., "Philos. Trans. Roy. Soc. Ser. A", 1910, v.210, p. 307 - 57; [2] В u 1 i r s с h R., S t о е r J., "Numer. Math.", 1964, Bd 6, H. 5, S. 413-27; [3] J о i с e D. C., "SIAM Review", 1971, v. 13, № 4, p. 435-90; [4] M а р ч у к Г. И., Ш а й д у р о в В. В., Повышение точности решений разностных схем, М., 1979; [5] Б а х в а л о в Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975. В. В. Шайдуров.