РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ КОНФОРМНЫЕ КЛАССЫ

- классы, состоящие из конформно эквивалентных римановых поверхностей. Замкнутые рима-новы поверхности (р. п.) имеют простой топологич. инвариант - род g;при этом любые две поверхности одного рода гомеоморфны. В простейших случаях топологич. эквивалентность двух р. п. обеспечивает и их принадлежность к одному и тому же Р. п. к. к., то есть конформную эквивалентность, или, говоря иначе, совпадение их конформных структур. Это выполняется, напр., для поверхностей рода 0, то есть гомеоморфных сфере. В общем случае дело обстоит не так. Еще Б. Риман (В. Riemann) заметил, что классы конформной эквивалентности р. п. рода g>1 зависят от 3g-3 комплексных параметров, называемых модулями римановых поверхностей;для конформно эквивалентных поверхностей эти модули совпадают. Случай g=1 описан ниже. Если же рассматривать компактные р. п. рода gс n иналитич. компонентами края, то для их конформной эквивалентности требуется совпадение 6g-6+Зn действительных параметров-модулей . В частности, для n-связных плоских областей таких модулей 3n-6; всякая двусвязная плоская область конформно эквивалентна кольцу с определенным отношением радиусов.

Указанное выше замечание Б. Римана послужило истоком классич. п р о б л е м ы м о д у л е й р. п., к-рая заключается в том, чтобы изучить природу этих параметров и, если возможно, ввести их так, чтобы они определяли на множестве р. п. данного рода g комплексно-аналитич. структуру. Имеются два подхода к проблеме модулей: алгебраический и аналитический. Алгебраич. подход связан с изучением полей K(S)мероморфных функций на р. п. S. В случае замкнутой поверхности K(S)есть поле алгебраич. функций (для g=0-это поле рациональных, а для g=1 - поле эллиптич. функций). Каждая замкнутая р. п. Sконформно эквивалентна р. п. нек-рой алгебраич. функции, определяемой уравнением , где Р - неприводимый многочлен над . Это уравнение задает плоскую алгебраич. кривую X, и поле рациональных функций на Xотождествляется с полем мероморфных функций на S. Конформной эквивалентности р. п. соответствует бирациональная эквивалентность (совпадение) полей их алгебраич. функций или, что равносильно, бирациональная эквивалентность определяемых этими поверхностями алгебраич. кривых.

Аналитич. подход опирается на геометрические и аналитич. свойства р. п. Оказывается удобным ослабить конформную эквивалентность р. п., наложив топологич. ограничения. Вместо р. п. Sданного рода берутся пары (S, f), где f - гомеоморфизм фиксированной поверхности S₀ рода gна S;две пары (S, f), (S', f') считаются эквивалентными, если существует такой конформный гомеоморфизм , что отображение

гомотопно тождественному. Множество классов эквивалентности {(S, f)} наз. пространством Т а й х м ю л л е р а T(S₀ )поверхности S₀. В Т(S₀ )вводится метрика с помощью квазиконформных гомеоморфизмов . Аналогичным образом определяется пространство Тайхмюллера и для некомпактной р. п., но тогда берутся только квазиконформные гомеоморфизмы f. Для замкнутых поверхностей S₀ данного рода gпространства T(S₀ )изометрически изоморфны, и можно говорить о пространстве Тайхмюллера T_g поверхностей рода g. Пространство R_gP. п. к. к. рода gполучается факторизацией T_g по нек-рой счетной группе Г _g его автоморфизмов, называемой модулярной группой. Наиболее простым является случай поверхностей рода 1 - торов. Каждый тор Sпосле конформного отображения его универсальной накрывающей на комплексную плоскость представляется в виде , где G - группа сдвигов с двумя образующими w₁, w₂ такими, что ; при этом два тора Sи S' конформно эквивалентны тогда и только тогда, когда отношения и соответствующих образующих связаны модулярным преобразованием

В качестве (комплексного) модуля данного Р. п. к. к. {S} можно взять значение эллиптической модулярной функции J(t). Пространство Тайхмюллера Т ₁ совпадает с полуплоскостью , Г ₁ есть эллиптическая модулярная группа , а R₁=T₁/Г ₁ - риманова поверхность, конформно эквивалентная . Все эллиптич. кривые (и поверхности рода 1) допускают одновременную униформизацию с помощью функции Вейерштрасса и ее производной

При g>1ситуация значительно сложнее. Установлены, в частности, следующие основные свойства пространства Т g:I) T_g гомеоморфно ; 2) T_g биголоморфно вкладывается в виде ограниченной области в , к-рая голоморфно выпукла; 3) модулярная группа Г _g дискретна (даже собственно разрывна) и при g>2является полной группой биголоморфных автоморфизмов T_g;4) накрытие является разветвленным, a T_g/Г _g=R_g есть нормальное комплексное пространство с неуниформизируемыми особенностями. Такие же свойства, за отдельными исключениями в 3), имеют место и для более общего случая замкнутых р. п. с конечным числом проколов, к-рым соответствуют конечномерные пространства Тайхмюллера. Указанное биголоморфное вложение T_g в получается с помощью униформизации и свойств квазиконформных отображений. Поверхность S₀ представляется в виде S₀=Н/Г ₀, где Г ₀ - фуксова группа, действующая разрывно в верхней полуплоскости H (определяемая с точностью до сопряжения в группе всех конформных автоморфизмов H), и рассматриваются квазиконформные автоморфизмы плоскости , т. е. решения уравнения Бельтрами , где - инвариантные относительно Г ₀ формы с носителями в Н, . Пусть еще оставляют неподвижными точки 0, 1, . Тогда T_g можно отождествить с пространством сужений или, что равносильно, сужений , и T_g биголоморфно эквивалентно области, заполняемой производными Шварца

в комплексном пространстве B(L, Г ₀) голоморфных в Lрешений уравнения

с нормой

при этом dim B(L, Г ₀)=3g-3. Используя это вложение, можно построить расслоенное пространство с базой T_g, также допускающее введение комплексной структуры, и голоморфные функции на

, позволяющие дать параметрич. представление всех алгебраич. кривых рода gв комплексном проективном пространстве . Указанная конструкция, связанная с вложением T_g в В(L, Г ₀), обобщается на произвольные р. п. и фуксовы группы. В частности, для компактных р. п. с аналитич. раницами получающееся пространство Тайхмюллера допускает введение в нем глобальной вещественно аналитич. структуры соответствующей размерности.

Другое описание Р. п. к. к. рода g>l получается с помощью т. <н. м а т р и ц п е р и о д о в этих поверхностей. Это - симметрические -матрицы с положительно определенной мнимой частью. Пространство T_g голоморфно вкладывается во множество всех таких матриц (верхнюю полуплоскость Зигеля) Н _g (см. [4], [5]).

Имеются замкнутые р. п. с определенной симметрией, конформные классы к-рых зависят от меньшего числа параметров. Это - г и п е р э л л и п т и ч е с к и е п ов е р х н о с т и, эквивалентные двулистным р. п. функций , где р(z) - многочлены вида . Они допускают конформную инволюцию и зависят от 2g-1 комплексных параметров. Все поверхности рода 2 гиперэллиптичны; при g>2 такие поверхности образуют в T_g аналитич. подмногообразия размерности 2g-1.

С Р. п. к. к. связан вопрос о конформных автоморфизмах данной римановой поверхности S. За исключением нескольких частных случаев группа Aut Sтаких автоморфизмов дискретна. В случае замкнутых поверхностей рода g>l она конечна, причем тогда порядок Aut Sне превосходит 84(g-1).

Имеющаяся классификация некомпактных р. п. бесконечного рода основана на выделении отдельных конформных инвариантов и не определяет Р. п. к. к. полностью; обычно это делается в терминах существования аналитических или гармонич. функций с определенными свойствами.

Лит.:[1] Н е в а н л и н н а Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [2] С п р и н г е р Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [3] К р у ш к а л ь С. Л., Квазиконформные отображения и римановы поверхности, Новосиб., 1975; [4] Б е р с Л., "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, в. 4, с. 153-98; [5] Ш и ф ф е р М., С п е н с е р Д. К., Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М., 1957; [6] A b i k о f f W., The real analytic theory of Tеichmuller space, В.- [u. a.], 1980. С. Л. Крушкалъ.