БИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ это:

БИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

билинейная функция,- отображение f произведения левого унитарного A-модуля Vи правого унитарного В- модуля -бимодуль Н, удовлетворяющее следующим условиям:



здесь - произвольно выбранные элементы, - кольца с единицей. Тензорное произведение над имеет естественную структуру -бимодуля. Пусть канонич. отображение, тогда любое Б. о. f индуцирует гомоморфизм - бимодулей для к-рого Если и коммутативно, то множество всех Б. о. является -модулем относительно обычным образом определяемых операций сложения и умножения на элементы из A, а соответствие '.устанавливает канонич. изоморфизм A-модуля и A-модуля всех A-линейных отображений в Н.

Пусть - свободные модули с базисами и , соответственно. Б. о. f полностью определяется заданием , для всех поскольку для любых конечных подмножеств имеет место формула



И обратно, при произвольном выборе элементов формула (*), где определяет Б. о. в Н. Если I и J конечны, матрица называется матрицей Б. о. f относительно данных базисов.

Пусть задано Б. о. Элементы наз. ортогональными относительно f, если . Подмножества. и наз. ортогональными относительно f, если всякий ортогонален всякому . Если X - подмодуль в V, то - подмодуль в W, наз. ортогональным подмодулем, или ортогональным дополнением, к X. Аналогично определяется ортогональное дополнение к подмодулю Y в W. Отображение f наз. вырожденным справа (соответственно слева), если (соответственно ). Подмодули и наз. соответственно левым и правым ядром Б. о. f. Если и , то f наз. невырожденным, ав противном случае - вырожденным. Отображение f наз. нулевым, если и .

Пусть - семейство левых A-модулей, - семейство правых B-модулей, - Б. о. в Н, V - прямая сумма A-модулей , а - прямая сумма В-модулей Wi. Отображение , определяемое правилом является Б. о. и наз. прямой суммой отображений . Эта сумма ортогональна, т. е. подмодуль ортогонален подмодулю Wj относительно f при .

Б. о. f невырождено тогда и только тогда, когда невырождено для всех ; при этом


В случае А=В =Н Б. о. наз. билинейной формой.

Лит.:[1]Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. В. Л. Попов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "БИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ" в других словарях:

  • Билинейное отображение — У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения). Не следует путать с Билинейное преобразование. Пусть , , векторные пространства над полем . Отображение …   Википедия

  • Отображение (значения) — Отображение  процесс сопоставления чего либо с чем либо; правило, по которому такое сопоставление производится. В математике термин «отображение» имеет строгий смысл и эквивалентен термину «функция». Отображение может иметь различные… …   Википедия

  • Билинейное преобразование — Не следует путать с Билинейное отображение. Билинейное преобразование (или преим. в зап. литературе преобразование Тастина (Tustin s method transformation))  конформное отображение, используемое для того, чтобы преобразовать передаточную… …   Википедия

  • БИЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ — билинейное отображение модуля над коммутативным кольцом К(K модуля) в само это кольцо (рассматриваемое как К модуль). М. И. Войцеховский …   Математическая энциклопедия

  • Билинейная операция — Не следует путать с Билинейное преобразование. Билинейная операция, билинейное отображение  отображение линейных пространств , линейное по каждому из двух аргументов. Если пространство X является самим полем над которым рассматриваются… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — в узком смысле оператор, действующий на функции, заданные на открытом множестве и принимающий значения в поле или по формуле где функции со значениями в том же поле, наз. коэффициентами А. Если коэффициенты принимают значения во множестве матриц… …   Математическая энциклопедия

  • ЯДЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — локально выпуклое пространство, у к рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги… …   Математическая энциклопедия

  • Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т.д.) перемножаемых пространств. Тензорное произведение линейных пространств и есть линейное пространство, обозначаемое . Для элементов… …   Википедия

  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, в к ром изучаются векторные (линейные) пространства, линейные операторы (линейные отображения), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах. Исторически первым разделом Л. а. была …   Математическая энциклопедия

  • БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — на произведении модулей билинейное отображение левый унитарный модуль, W правый унитарный А модуль, А кольцо с единицей, рассматриваемое также как ( А, А ) бимодуль. Если V= W, то говорят, что f есть Б. ф. на модуле V, а также, что Vнаделен… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»