РАУСА ТЕОРЕМА

РАУСА ТЕОРЕМА

- теорема, позволяющая для многочлена f(х)с действительными коэффициентами (в регулярном случае) определить с помощью схемы Рауса число комплексных корней этого многочлена с положительной действительной частью.

Пусть многочлен f (х)для удобства записан в виде


С х е м о й Р а у с а этого многочлена наз. система чисел


В этой схеме первые две строки составлены из коэффициентов многочлена f(x), а каждая строка, начиная с третьей, получается из двух предыдущих следующим образом: из первой строки вычитается вторая, умноженная на такое число, чтобы первый элемент обратился в нуль. Выбрасывая этот первый нуль, получают искомую строку. Напр., в третьей строке


В первой строке схемы Рауса число элементов равно целой части числа , во второй - целой части числа , в k- йстроке при k>2 число элементов на 1 меньше, чем в (k-2)-й строке. Вся схема содержит n+1 строку. Р е г у л я р н ы м наз. тот случай, когда в схеме Рауса многочлена все числа первого столбца отличны от нуля.

Теорема Рауса. Для многочлена с действительными коэффициентами в регулярном случае число корней, лежащих в правой полуплоскости (т. е имеющих положительные действительные части), равно числу перемен знака в ряду чисел первого столбца схемы Рауса. В регулярном случае многочлен не может иметь корней, лежащих на мнимой оси. К р и т е р и й Р а у с а: для того чтобы все корни многочлена f(x) с действительными коэффициентами имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все числа первого столбца схемы Рауса были отличны от нуля и имели одинаковые знаки. Эти теоремы были установлены Э. Раусом [1]. Метод Рауса применяется для определения числа корней многочлена в правой полуплоскости и в нек-рых нерегулярных случаях.

Построение схемы Рауса возможно лишь для многочленов с заданными числовыми коэффициентами. Более широко применим метод, в к-ром роль схемы Рауса играет матрица Гурвица, а роль первого столбца схемы Рауса - последовательность главных миноров Di, (см. Рауса - Гурвица критерий). При этом аналогом Р. т. будет т е о р е м а Р а у с а - Г у р в и ц а: если все миноры Di,- отличны от нуля, то число корней многочлена f (х), лежащих в правой полуплоскости, равно числу перемен знака в ряду чисел


и f (х)не имеет корней, лежащих на мнимой оси. Этот метод применим при нек-рых дополнительных условиях к случаю, когда отдельные из миноров Di равны нулю. Лит.:[1] R о u I h Е. J., Treatise on the stability of a given state of motion..., L., 1877; [2] е г о ж е, The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies, 6 ed., L., 1905; [3] Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости движения, М.- Л., 1950; [4] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967. И. В. Проскуряков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "РАУСА ТЕОРЕМА" в других словарях:

  • РАУСА - ГУРВИЦА КРИТЕРИИ — Г у р в и ц а к р и т е р и й, необходимое и достаточное условие того, чтобы все корни многочлена с действительными коэффициентами и имели отрицательные действительные части. Р. Г. к. состоит в том, чтобы были положительными все главные миноры ,… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Рауса — Гурвица — Теорема Рауса  Гурвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 году и названа в честь Эдварда Джона Рауса (англ.) и Адольфа Гурвица. Содержание 1 Условные… …   Википедия

  • Теорема Рауса — Теорема Рауса  Гурвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 году и названа в честь Эдварда Джона Рауса (англ.) и Адольфа Гурвица. Содержание 1 Условные… …   Википедия

  • Теорема Рауса—Гурвица — …   Википедия

  • Критерий устойчивости Рауса — Критерий устойчивости Рауса  один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса  Гурвица) является представителем семейства… …   Википедия

  • Критерий Рауса — Критерий устойчивости Рауса один из методов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость. Наряду с критерием Гурвица (который часто называют критерием Рауса Гурвица) является представителем семейства алгебраических критериев …   Википедия

  • Критерий устойчивости Рауса-Гурвица — Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… …   Википедия

  • Теория автоматического управления — Содержание 1 История 2 Основные понятия 3 Функциональн …   Википедия

  • Критерий устойчивости Гурвица — Критерий устойчивости Рауса Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства… …   Википедия

  • УСТОЙЧИВОСТИ КРИТЕРИИ — необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей всех корней уравнения У. к. используются, когда применяется теорема Ляпунова об устойчивости но первому приближению неподвижной точки автономной системы дифференциальных… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»