БИБЕРБАХА - ЭЙЛЕНБЕРГА ФУНКЦИИ это:

БИБЕРБАХА - ЭЙЛЕНБЕРГА ФУНКЦИИ

в круге - класс Rфункций , регулярных в круге , имеющих в нем разложение вида


и удовлетворяющих условию


Этот класс функций является естественным расширением класса Вфункций , регулярных в круге имеющих разложение (1) и таких, что в круге Класс однолистных функций из Rобозначают . Функции класса Rбыли названы по имени Л. Бибербаха [1], показавшего, что для имеет место неравенство


причем равенство в (2) достигается только для функции где действительное, и С. Эйленберга [2], установившего справедливость неравенства (2) во всем классе R. В. Рогозинский [3] показал, что каждая функция класса Rподчинена (см. Подчинения принцип) нек-рой функции из класса . Из (2) для получается точное неравенство


В классе Rполучена следующая оценка модуля функции: если , то


и равенство в (4) реализуется только функциями , где действительное, а


Экстремальных метрик методом была решена задача о максимуме и минимуме в классе функций из с фиксированным значением в разложении (1): для справедливы точные неравенства


где функции отображают круг на области, симметричные относительно мнимой оси плоскости w, границы к-рых принадлежат объединений замыканий нек-рых траекторий или ортогональных траекторий квадратичного дифференциала на плоскости w в расположении нулей и полюсов к-рого имеется определенная симметрия (см. [4], [5]). Нек-рые окончательные результаты для функций класса R~ (с) были получены одновременным использованием метода экстремальных метрик и метода симметризации (см. [4])

Большое число результатов для функции классов является следствием соответствующих результатов для систем функций, отображающих круг на взаимно неналегающие области (см. [6]). Аналогом класса Rдля конечно связной области G, не имеющей изолированных граничных точек и не содержащей точки является класс функций регулярных в G и удовлетворяющих условиям , - любые точки области G. Класс расширяет класс функций , регулярных в б и таких, что в области G. Распространением результата Бибербаха - Эйленберга и неравенства (3) на функции класса является следующая точная оценка: если то


где - та из функций класса для к-рой в этом классе.

Лит.: [1] Bieberbach L., "Math. Ann.", 1916, Bd 77, S. 153-72; [2] Eilenberg S., "Fundam. math.", 1935, v. 25, p. 267-72; [3] Rogosinski W., "J. London Math. Soc.", 1939, v. 14, № 1, p. 4-11; [4] Дженкинс Д ж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [5] Jеnkins J. A., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1965, v. 119, № 2, p. 195-215; [6] Лебедев Н. А., Принцип площадей в теории однолистных функций, М., 1975.

Г. В. Кузьмина.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "БИБЕРБАХА - ЭЙЛЕНБЕРГА ФУНКЦИИ" в других словарях:

  • БИБЕРБАХА ГИПОТЕЗА — предположение, высказанное в 1916 Л. Бибербахом [1]: для всех функций классa S, т. е. для функций , регулярных и однолистных в круге и имеющих в нем разложение справедлива оценка причем только для функций Кёбе где действительное число. Л …   Математическая энциклопедия

  • БИБЕРБАХА МНОГОЧЛЕНЫ — экстремальные многочлены, приближающие функцию, к рая отображает конформно данную односвязную область на круг. Впервые были рассмотрены Л. Бибербахом, [1] в связи с задачей о приближенном вычислении конформно отображающей функции. Пусть… …   Математическая энциклопедия

  • ДИСКРЕТНАЯ ПОДГРУППА — подгруппа Г топологич. группы G(в частности, подгруппа группы Ли), являющаяся дискретным подмножеством топологич. пространства G. В локально компактных топологич. группах (в частности, в группах Ли) выделяют решетки Д. п., для к рых… …   Математическая энциклопедия

  • МНОГОЛИСТНАЯ ФУНКЦИЯ — понятие, естественным образом обобщающее понятие однолистной функции. Функция , регулярная или мероморфная в области Dкомплексной плоскости z, наз. р листной в D(р=1, 2, ...), если она принимает в этой области каждое свое значение не более рраз,… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ — комплексного переменногог регулярная однолистная функция в единичном круге , отображающая единичный круг на нек рую выпуклую область. Регулярная однолистная функция является В. ф. тогда и только тогда, когда при обходе любой окружности… …   Математическая энциклопедия

  • ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО — (в геометрии и физике) общий термин для обозначения неравенства 4pV<F2 между площадью Vи периметром Fплоской области, для разнообразных его обобщений и для других неравенств между геометрия, характеристиками фигур, множеств, многообразий. К И …   Математическая энциклопедия

  • ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ МЕТОД — метод теории функций комплексного переменного, возникший из параметрического представления однолистных функций и базирующийся большей частью на Лёвнера уравнении и его обобщениях (см. [1]). Самим К. Лёвнером (К. Lowner) П. п. м. использовался на… …   Математическая энциклопедия

  • ПЛОЩАДЕЙ ПРИНЦИП — площадь дополнения к образу области при ее отображении регулярной в ней функцией неотрицательна. Впервые П. п. использовал в 1914 Т. Гронуолл [1], к рый доказал этим путем т. н. внешнюю теорему площадей для функций класса 2 функций регулярных и… …   Математическая энциклопедия

  • Однолистная функция — Однолистная в области функция  функция , определенная в и устанавливающая взаимно однозначное соответствие между прообразом и образом . Содержание …   Википедия

  • Функция Кёбе — Функцией Кёбе называется функция вида . Важность функции Кёбе состоит в том, что она является экстремальной во многих задачах теории однолистных функций. Теорема Кёбе об 1/4 Если однолистная функция в , то имеет место включение , где …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»