РАВНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

множество с определенной на нем равномерной структурой. Равномерная структура (равномерность) на множестве Xопределяется заданием нек-рой системы подмножеств произведения При этом система должна быть фильтром (т. е. для любых пересечение также содержится в , и если , то ) и должна удовлетворять следующим аксиомам.

U1) Всякое множество содержит диагональ D=

U2) Если , то .

U3) Для любого существует такое, что , где W^oW= {(x, у):существует такое , что и }. Элементы наз. окружениям и равномерности, определяемой системой .

Равномерность на множестве Xможет быть определена также путем задания на Xсистемы покрытий , удовлетворяющей следующим аксиомам.

С1) Если и а вписано в покрытие b, то

С2) Для любых существует покрытие , к-рое звездно вписано в a₁ и в a₂ (т. е. для любой точки все элементы b, содержащие х, лежат в нек-рых элементах a₁ и a₂). Покрытия, принадлежащие , ная. равномерными покрытиями X(относительно равномерности, определяемой системой ).

Указанные два способа задания равномерной структуры эквивалентны. Напр., если равномерная структура на Xзадана системой окружений , то система равномерных покрытий Xможет быть построена так. Для всякого семейство (где ) является покрытием X. Покрытие а принадлежит тогда и только тогда, когда существует вписанное в а покрытие вида . Обратно, если - система равномерных покрытий Р. п., систему окружений образуют множества вида , и всевозможные множества, их содержащие.

Равномерная структура на Xможет быть задана также с помощью системы псевдометрик. Всякая равномерность на множестве Xпорождает топологию: : для любой точки существует такое , что

Свойства Р. п. являются обобщением равномерных свойств метрических пространств. Если (X,r) - метрич. пространство, на X возникает равномерность, порожденная метрикой р. Систему окружений этой равномерности образуют всевозможные множества, содержащие множества вида {( х, у):r( х, y)<e}, e>0. При этом топологии на X, индуцированные метрикой и равномерностью, совпадают. Равномерные структуры, порожденные метриками, наз. метризуемыми.

Р. п. были введены в 1937 А. Вейлем [1] (посредством окружений; определение Р. п. посредством равномерных покрытий было дано в 1940, см. [4]). Однако идея использования многократной звездной вписанности для построения функций появилась ранее у Л. С. Понтря-гина (см. [5]) (впоследствии эта идея была использована при доказательстве полной регулярности топологии отделимого Р. п.). Первоначально равномерные структуры использовались как инструмент для изучения (порожденных ими) топологий (подобно тому, как метрика на метризуемом пространстве часто используется для изучения топологич. свойств этого пространства). Однако теория Р. п. имеет и самостоятельное значение, хотя и тесно связана с теорией топологич. пространств.

Отображение f : X Y Р. п. Xв Р. п. Yназ. равномерно непрерывным, если для любого равномерного покрытия a пространства Y система f^-1a={f^-1U: Uа} является равномерным покрытием X. Всякое равномерно непрерывное отображение является непрерывным относительно топологий, порожденных равномерными структурами на Xи Y. Если равномерные структуры на Xи Yиндуцированы метриками, то равномерно непрерывное отображение f : X Y оказывается равномерно непрерывным в классич. смысле как отображение метрич. пространств.

Более содержательной является теория Р. п., к-рая удовлетворяет дополнительной аксиоме отделимости:

(в терминах окружений) или (в терминах равномерных покрытий):

СЗ) для любых двух точек , существует такое , что никакой элемент a не содержит точки хи уодновременно.

Далее речь будет идти только о Р. п., наделенных отделимой равномерной структурой. Топология, порожденная на Xотделимой равномерностью, является вполне регулярной и обратно, всякая вполне регулярная топология на Xпорождается нек-рой отделимой равномерной структурой. Как правило, существует много различных равномерностей, порождающих одинаковую топологию на X. В частности, метризуемая топология может порождаться неметризуемой отделимой равномерностью.

Р. и. (X,-).является метризуемъга тогда и только тогда, когда имеют счетную базу. При этом базой равномерности наз. (в терминах окружений) всякая подсистема , удовлетворяющая условию: для любого существует такое , что , или (в терминах равномерных покрытий) подсистема такая, что для любого существует , к-рое вписано в a. Весом Р. п. (X,).наз. наименьшая мощность базы равномерности .

Пусть М - подмножество Р. п. (X,). Система окружений определяет равномерность на М. Пара ( М,) наз. подпространством Р. п. (X,). Отображение f: XYР. п. (X,).в Р. п. (Y, ).наз. равномерным вложением, если f взаимно однозначно, равномерно непрерывно и отображение также равномерно непрерывно.

Р. п. X паз. полным, если всякий фильтр Коши в X(т. е. фильтр, содержащий нек-рый элемент всякого равномерного покрытия) имеет точку прикосновения (т. е. точку, лежащую в пересечении замыканий элементов фильтра). Метризуемое Р. п. является полным тогда и только тогда, когда полна метрика, порождающая его равномерность. Любое Р. п. (X,). может быть равномерно вложено в качестве всюду плотного подмножества в единственное (с точностью до равномерного изоморфизма) полное Р. п. , к-рое наз. пополнением (X,). Топология пополнения (, ) Р. п. (X,). бикомпактна тогда и только тогда, когда является прекомпактной равномерностью (т. <е. такой, что в любое равномерное покрытие можно вписать конечное равномерное покрытие). В этом случае пространство является бикомпактным расширением Xи наз. расширением Самюэля пространства Xотносительно равномерности . Для всякого бикомпактного расширения bХ пространства Xсуществует единственная прекомпактная равномерность на X, расширение Самюэля относительно к-рой совпадает с bХ. Таким образом, на языке прекомпактных равномерностей описываются все бикомпактные расширения bХ. На бикомпактном пространстве существует единственная равномерность (полная и прекомпактная).

Всякая равномерность на множестве Xиндуцирует близость d по следующей формуле:

для любого . При этом топологии, порожденные на Xравномерностью и близостью d, совпадают. Любое равномерно непрерывное отображение является близостно непрерывным относительно близостей, порожденных равномерностями. Как правило, существует много различных равномерностей, порождающих на Xодну и ту же близость. Тем самым множество равномерностей на Xраспадается на классы эквивалентности (две равномерности эквивалентны, если индуцированные ими близости совпадают). Каждый класс эквивалентных равномерностей содержит ровно одну прекомпактную равномерность, причем расширения Самюэля относительно этой равномерности совпадают с расширениями Смирнова (см. Близости пространство).относительно близости, индуцированной равномерностями этого класса. В множестве равномерностей на Xзадается естественный частичный порядок: , если Среди всех равномерностей, порождающих на Xфиксированную топологию, есть наибольшая - т. н. универсальная равномерность, к-рая индуцирует на Xблизость Стоуна - Чеха. Всякая прекомпактная равномерность является наименьшим элементом в классе эквивалентных ей равномерностей. Если - система равномерных покрытий нек-рой равномерности на X, то система равномерных покрытий эквивалентной прекомпактной равномерности состоит из таких покрытий X, в к-рые можно вписать конечные покрытия из .

Произведением Р. п. , наз. Р. п. , где - равномерность на П X_t, базу окружений к-рой образуют множества вида

Топология, индуцированная на П Х _t равномерностью , совпадает с топологией тихоновского произведения пространств X_t. Проекции произведения Р. п. на сомножители равномерно непрерывны. Всякое Р. п. веса t может быть вложено в произведение t экземпляров метризуемых Р. п.

Семейство Fнепрерывных отображений топологич. пространства Xв Р. п. (Y,). наз. равностепенно непрерывным (относительно равномерности ), если для любой точки и любого существует окрестность такая, что (f(x), f(x').V при и . Имеет место следующее обобщение классич. теоремы Асколи: пусть Xесть k-пространство, (Y,) - равномерное пространство и Y ^х - пространство непрерывных отображений Xв Yс компактно открытой топологией. Для того чтобы замкнутое подмножество было бикомпактным, необходимо и достаточно, чтобы Fбыло равностепенно непрерывно относительно равномерности и все множества (f(х): fF}, х X, имели бикомпактные замыкания в Y(k-пространства - это хаусдорфовы пространства, являющиеся факторным образом локально компактных пространств; класс k-пространств содержит все хаусдорфовы пространства с первой аксиомой счетности и все хаусдорфовы локально бикомпактные пространства).

Топология метризуемого Р. п. паракомпактна в силу теоремы Стоуна. Однако решается отрицательно проблема Исбелла о равномерной паракомпактности метризуемых Р. п. Построен пример метризуемого Р. п., имеющего равномерное покрытие.

В теории размерности Р. п. основными являются равномерные размерностные инварианты dd и Dd, определяемые аналогично топология, размерности dim (dd - при помощи конечных равномерных покрытий, a Dd - при помощи всех равномерных покрытий), и равномерная индуктивная размерность dInd. Размерность dInd определяется по аналогии с большой индуктивной размерностью Ind индукцией по размерности близостных перегородок между далекими (в смысле близости, порожденной равномерностью) множествами. При этом множество Нназ. близостной перегородкой между Аи В(где Аd В), если для любой d-окрестности Uмножества Нтакой, что , имеет место , где (Uназ. d-окрестностью Н, если . Таким образом, размерность dInd (равно как и dd) является не только равномерным, но и близостным инвариантом. Размерность dd Р. п. (X, U).совпадает с обычной размерностью dim расширения Самюэля, построенного по эквивалентной прекомпактной равномерности. Если размерность DdX конечна, то DdX=ddX. Однако может быть ddX=0, a DdX=. Для метризуемого Р. п. всегда ddХ dInd X=DdX (и если DdX<, то ddX=dIndX=DdX). Равенства ddX=0 и dIndX=0 эквивалентны для любого Р. п. Если Р. п. метризуемо, то эквивалентны также равенства ddX=0 и DdX=0. Если Р. п. X' является всюду плотным подмножеством Р. п. X, то . Всегда Для размерности dd имеет место аналог теоремы о перегородках.

Различные обобщения Р. п. получаются путем ослабления аксиом равномерности. Так, в аксиоматике квазиравномерности (см. [8]) исключена аксиома симметрии. При определении обобщенной равномерности (см. [10]) (f-равномерности) вместо равномерных покрытий рассматриваются равномерные семейства подмножеств X, к-рые, вообще говоря, не являются покрытиями (тела этих семейств оказываются всюду плотными в Xв топологии, порожденной f-равномерностью). Одно из обобщений равномерности - так наз. q-равномерность - связано с наличием топологии на Р. п. Она определяется семействами q-покрытий хаусдорфова пространства; q-покрытиями наз. система h канонических открытых множеств X, удовлетворяющих следующему условию: для любой точки существуют такие, что

Лит.:[1] Weil A., Sur les espaces a structure uniforme et sur le topologie generale, P., 1937; [2] Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., 2 изд., М,, 1868; [3] его же, Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., М., 1975; [4] Тukеу J., Ann. of Math. Studies 2, Princeton, 1940; [5] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [6] Isbell J., Uniform spaces, Providence, 1964; [71 Samuel P., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1948, v. 64, p. 100-32; [8] Сsaszar A., Foundations of general topologv, Oxford-[etc.], 1963; [9] Федорчук В. В., "Докл. АН СССР", 1970, т. 192, № 6. с. 1228-30; [10] Кulрa W., "Colloq. Math.", 1972, v. 25, p. 227-40; [11] Щепин Е. В., "Докл. АН СССР", 1975, т. 222, № 3, с. 541-43. А. В. Иванов, Н. С. Стреколовская.