БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ это:

БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ

- цилиндрические функции1-го рода. Б. ф. .индекса рможет быть определена рядом


сходящемся на всей плоскости. Б. ф. индекса рявляется решением соответствующего Бесселя уравнения.


При действительных положительных значениях аргумента и индекса (- действительное число) Б. ф. действительна, график ее имеет вид затухающего колебания (см. рис.); при четном индексе Б. ф. четна, при нечетном - нечетна. Поведение Б. ф. в окрестности нуля дается первыми слагаемыми ряда (*); при больших хсправедливо асимптотич. представление


Нули Б. ф. [корни уравнения ] - простые, при этом нули лежат между нулями . Б. ф. "полуцелого" порядка выражаются через тригонометрич. функции; в частности,


Б. ф. - положительные нули образуют ортогональную с весом хв промежутке систему. При определенных условиях имеет место разложение


В бесконечном промежутке его заменяет интеграл Фурье-Бесселя


Важную роль в теории Б. ф. и их применений играют: 1) интегральное представление


2) производящая функция


3) теорема сложения для Б. ф. нулевого индекса


4) рекуррентные формулы


Лит. ем. при статье Цилиндрические функции.

П. И. Лизоркин.

BETA-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - непрерывное сосредоточенное на (0, 1) распределение вероятностей с плотностью


где параметры неотрицательны и нормирующий множитель есть бета-функция Эйлера


(- гамма-функция). Функция распределения выражается через неполную бета-функцию


(эта функция табулирована, см. [1], [2] ). Моменты Б.-р. выражаются формулой


в частности, математич. ожидание и дисперсия равны и соответственно. Если то кривая плотности имеет единственную точку максимума и обращается в нуль на концах интервала. Если или , то одна из крайних ординат графика бесконечна, а если и , и , то обе ординаты на концах интервала бесконечны и кривая имеет -образную форму. При Б.-р. превращается в равномерное распределение в интервале . Другим частным случаем Б.-р. является так наз. арксинуса распределение


При замене в (1) получается распределение с плотностью


Это распределение наз. Б.-р. второго рода, в отличие от Б.-р. (1). Распределения (1) и (2) соответствуют распределениям "типа I" и "типа VI" в системе Пирсона кривых. Один из важных случаев возникновения Б.-р. таков: если независимы и имеют гамма-распределения с параметрами тип соответственно, то случайная величина имеет Б.-р. с плотностью . Этот факт в большой степени объясняет ту роль, к-рую Б.-р. играет в приложениях, в частности в математич. статистике: распределения многих важнейших статистик сводятся к Б.-р. Напр., функция распределения F-отношения


(случайная величина имеет -распределение с kстепенями свободы) выражается формулой


(обычно значения F-распределения вычисляются с помощью таблиц Б.-р.). Функция Б.-р. позволяет также вычислять значения функций биномиального распределения, ввиду соотношения


Б.-р. находит применение не только в математич. статистике, так, напр., плотность Б.-р. является весовой функцией для системы ортогональных Якоби многочленов.

Лит.:[1] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2изд., М., 1968; |2] Пирсон К. Таблицы неполной бета-функции, пер. с англ., М., 1974. А. В. Прохоров.

BETA-ФУНКЦИЯ, В-функция, В-функция Эйлера, эйлеров интеграл 1-го рода - функция двух переменных , определяемая при равенством


Значения Б.-ф. при различных значениях параметров связаны между собой следующими соотношениями


Справедлива формула


В случае комплексных ри q интеграл (*) сходится, когда Б.-ф. выражается через гамма-функцию:


В. И. Битюцков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ" в других словарях:

  • Бесселя функции — Функции Бесселя в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где α  произвольное действительное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • Бесселя функции —         Цилиндрические функции 1 го рода; возникают при рассмотрении физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний и пр.) в областях с круговой и цилиндрической симметрией; являются решениями Бесселя уравнения (См. Бесселя… …   Большая советская энциклопедия

  • БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ — [по имени нем. астронома Ф. Бесселя (F. Bessel; 1784 1846)] то же, что цилиндрические функции …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Функции Бесселя — в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где   произвольное вещественное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

  • Функции Ганкеля — (Ханкеля) (Функции Бесселя третьего рода) это линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ганкеля. функция Ганкеля первого рода; функция… …   Википедия

  • БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка: илц в самосопряженной форме: Число v наз. индексом Б. у.; величины в общем случае могут принимать комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма уравнения (1): Б …   Математическая энциклопедия

  • Бесселя уравнение —         линейное дифференциальное уравнение 2 го порядка вида          x2y’’ + xy’ + (x2 p2) y = 0,          где параметр («индекс») р может принимать произвольные (комплексные) значения (названо по имени Ф. Бесселя (См. Бессель)). К этому… …   Большая советская энциклопедия

  • БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ — специального вида дифференциальное уравнение, к которому приводят многие физические и технические задачи в цилиндрических координатах. Решения Бесселя уравнения называются цилиндрическими функциями, частный случай которых функции Бесселя …   Большой Энциклопедический словарь

  • Бесселя уравнение — специального вида дифференциальное уравнение, к которому приводят многие физические и технические задачи в цилиндрических координатах. Решения уравнения Бесселя называют цилиндрическими функциями, частные случаи которых  функции Бесселя. * * *… …   Энциклопедический словарь

  • БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ — спец. вида дифференц. ур ние, к к рому приводят мн. физ. и техн. задачи в цилиндрич. координатах. Решения Б. у. наз. цилиндрич. функциями, частные случаи к рых функции Бесселя. Названо по имени Ф. Бесселя …   Естествознание. Энциклопедический словарь

Книги

Другие книги по запросу «БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»