БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ

- цилиндрические функции1-го рода. Б. ф. .индекса рможет быть определена рядом

сходящемся на всей плоскости. Б. ф. индекса рявляется решением соответствующего Бесселя уравнения.

При действительных положительных значениях аргумента и индекса (- действительное число) Б. ф. действительна, график ее имеет вид затухающего колебания (см. рис.); при четном индексе Б. ф. четна, при нечетном - нечетна. Поведение Б. ф. в окрестности нуля дается первыми слагаемыми ряда (*); при больших хсправедливо асимптотич. представление

Нули Б. ф. [корни уравнения ] - простые, при этом нули лежат между нулями . Б. ф. "полуцелого" порядка выражаются через тригонометрич. функции; в частности,

Б. ф. - положительные нули образуют ортогональную с весом хв промежутке систему. При определенных условиях имеет место разложение

В бесконечном промежутке его заменяет интеграл Фурье-Бесселя

Важную роль в теории Б. ф. и их применений играют: 1) интегральное представление

2) производящая функция

3) теорема сложения для Б. ф. нулевого индекса

4) рекуррентные формулы

Лит. ем. при статье Цилиндрические функции.

П. И. Лизоркин.

BETA-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - непрерывное сосредоточенное на (0, 1) распределение вероятностей с плотностью

где параметры неотрицательны и нормирующий множитель есть бета-функция Эйлера

(- гамма-функция). Функция распределения выражается через неполную бета-функцию

(эта функция табулирована, см. [1], [2] ). Моменты Б.-р. выражаются формулой

в частности, математич. ожидание и дисперсия равны и соответственно. Если то кривая плотности имеет единственную точку максимума и обращается в нуль на концах интервала. Если или , то одна из крайних ординат графика бесконечна, а если и , и , то обе ординаты на концах интервала бесконечны и кривая имеет -образную форму. При Б.-р. превращается в равномерное распределение в интервале . Другим частным случаем Б.-р. является так наз. арксинуса распределение

При замене в (1) получается распределение с плотностью

Это распределение наз. Б.-р. второго рода, в отличие от Б.-р. (1). Распределения (1) и (2) соответствуют распределениям "типа I" и "типа VI" в системе Пирсона кривых. Один из важных случаев возникновения Б.-р. таков: если независимы и имеют гамма-распределения с параметрами тип соответственно, то случайная величина имеет Б.-р. с плотностью . Этот факт в большой степени объясняет ту роль, к-рую Б.-р. играет в приложениях, в частности в математич. статистике: распределения многих важнейших статистик сводятся к Б.-р. Напр., функция распределения F-отношения

(случайная величина имеет -распределение с kстепенями свободы) выражается формулой

(обычно значения F-распределения вычисляются с помощью таблиц Б.-р.). Функция Б.-р. позволяет также вычислять значения функций биномиального распределения, ввиду соотношения

Б.-р. находит применение не только в математич. статистике, так, напр., плотность Б.-р. является весовой функцией для системы ортогональных Якоби многочленов.

Лит.:[1] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2изд., М., 1968; |2] Пирсон К. Таблицы неполной бета-функции, пер. с англ., М., 1974. А. В. Прохоров.

BETA-ФУНКЦИЯ, В-функция, В-функция Эйлера, эйлеров интеграл 1-го рода - функция двух переменных , определяемая при равенством

Значения Б.-ф. при различных значениях параметров связаны между собой следующими соотношениями

Справедлива формула

В случае комплексных ри q интеграл (*) сходится, когда Б.-ф. выражается через гамма-функцию:

В. И. Битюцков.