ПУАНКАРЕ ПРОСТРАНСТВО

1) П. п. формальной размерности и - топологическое пространство X, где задан элемент , что гомоморфизм вида является изоморфизмом для любого k(здесь -операция Уитни умножения, высечение). При этом наз. изоморфизмо. <м двойственности Пуанкаре и элемент m. порождает группу Любое замкнутое ориентируемое n-мерное связное топологич. многообразие является П. п. формальной размерности n; в качестве m берется ориентация (фундаментальный класс) многообразия.

Пусть X - конечное клеточное пространство, вложенное в евклидово пространство R^N большой размерности N, и U - замкнутая регулярная окрестность этого вложения, a дU - ее край. Стандартное отображение превращается (по Серру) в расслоение. Теорема: пространство Xявляется П. п. формальной размерности птогда и только тогда, когда слой этого расслоения гомотопически эквивалентен сфере S^N-n-1. Возникающее над П. п. Xописанное расслоение (слой к-рого - сфера) единственно с точностью до стационарной эквивалентности и наз. сферическим нормальным расслоением, или расслоением Спивака, П. п. X. При этом конус проекции есть Тома пространство нормального сферич. расслоения над X.

Если ограничиться лишь гомологиями с коэффициентами в нек-ром поле F, то получится т. н. пространство Пуанкаре над F.

Рассматриваются также пары Пуанкаре (X, А).(обобщение понятия многообразия с краем), где для нек-рой образующей и любого kимеется изоморфизм двойственности Пуанкаре:

П. п. естественным образом возникают в задачах существования и классификации структур на многообразиях. Содержательна также задача сглаживания (триангуляции) П. п., то есть отыскания гладкого (кусочно линейного) замкнутого многообразия, гомотопически эквивалентного данному П. п.

2) П. п. n-мерное - замкнутое n-мерное многообразие М, гомологии группы H_i(M).к-рого изоморфны группам гомологии H_i(Sⁿ) n -мерной сферы Sⁿ;другое; название - гомологическая сфера.

Односвязное П. п. гомотопически эквивалентно сфере (см. Гомотопический тип). Для группы л, реализуемой, как фундаментальная группа нек-рого П. п., имеют место равенства H₁(p)=H₂(p)=0, где Н _i (п) - группы гомологии группы л. Обратно, для любого и любой конечно представимой группы p. с H₁(p) =H₂(p) = 0 существует "-мерное П. п. Мс p_i(M)p.

Для n=3,4 этих условий недостаточно для реализации группы p в виде p=p₁ (М). Так, напр., фундаментальная группа любого трехмерного П. и. допускает копредставление с одинаковым числом образующих и соотношений. Единственная конечная группа, реализуемая как фундаментальная группа трехмерного П. п., есть бинарная группа икосаэдра <x, у: х ²=y⁵=1>, являющаяся фундаментальной группой додекаэдра пространства - исторически первого примера П. п.

Лит.:[1] Браудер В., Перестройки односвязных многообразий, пер. с англ., М., 1983. Ю. В. Рудяк.