БЕРНШТЕЙН А НЕРАВЕНСТВО это:

БЕРНШТЕЙН А НЕРАВЕНСТВО

- 1) Б. н. в теории вероятностей -. уточнение классического Чебышева неравенства, принадлежащее С. Н. Бернштейну (1911, см. [1]); позволяет заменить степенную оценку вероятности больших отклонений на экспоненциально убывающую, см. Больших отклонений вероятности. Именно, если для независимых случайных величин с


выполняется


(, - постоянная, не зависящая от ), то для суммы справедливо Б. н. :


где Для одинаково распределенных ограниченных случайных величин и неравенство (1) приооретает наиболее простои вид:


где А. Н. Колмогоровым была получена нижняя оценка вероятности в (1). Оценки Бернштейна- Колмогорова используются, в частности, при доказательстве повторного логарифма закона. Нек-рое представление о точности (2) можно получить из сравнения с приближенным значением для левой части (2), даваемым Центральной предельной теоремой в виде


где . После 1967 одномерные Б. н. были распространены на многомерный и бесконечномерный случаи.

Лит.-[1] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946; [2] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126-35; [3] Hoeffding W.; "J. Amer. Statist. Assoc.", 1963, v. 58, № 301, p. 13-30; [4] Прохоров Ю. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1968, т. 13, в. 2, с. 266-74; [5] Прохоров А. В., "Матем. заметки", 1968, т. 3, в. 6, с. 731-9; [6] Юринский В. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1970, т. 15, в. 1, с. 106-7. А. В. Прохоров.

2) В. н. для производной от тригонометрич. полинома или алгебраич. многочлена, дающее оценку этой производной через наибольшее значение самого полинома (многочлена). Если - тригонометрич. полином порядка не выше п,


то для любого хвыполняются неравенства (см. [1]):


Оценка неулучшаема; ибо число М= 1 для

.

и


Б. н. для тригонометрич. полиномов является частным случаем следующей теоремы [1]: если - целая функция степени и


то


Б. н. для алгебраич. многочленов имеет следующий смысл [1]: если многочлен


удовлетворяет условию


то для его производной выполняется соотношение


к-рое является неулучшаемым. Как заметил сам С. Н. Бернштейн (см. [1], с. 20), последнее неравенство в сущности вытекает из доказательства Маркова неравенства самим А. А. Марковым.

Б. н. существенно используются при получении обратных теорем теории приближения функций. Имеется ряд обобщений Б. н., в частности для целых функций многих переменных.

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 1, М., 1952, с. 13-42, 269-70; [2] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969.

Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный,


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "БЕРНШТЕЙН А НЕРАВЕНСТВО" в других словарях:

  • Неравенство Джексона — Стечкина — Неравенство Джексона  Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример: В примере… …   Википедия

  • Неравенство Джексона-Стечкина — Неравенство Джексона  Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример: В примере величина… …   Википедия

  • Неравенство Джексона — Неравенство Джексона  Стечкина связывает величину наилучшего приближения функции каким либо классом функций со свойствами этой функции, как правило со значением модуля непрерывности этой функции в определенной точке. Пример: В примере… …   Википедия

  • Бернштейн, Сергей Натанович — (р. 1880) математик, проф. Харьковского ун та, член корреспондент Всесоюзной академии наук, действительный член Украинской акад. наук. По окончании средней школы отправился в Париж, прошел курс математических наук в Сорбонне, провел около 2 лет в …   Большая биографическая энциклопедия

  • Бернштейн Серг. Натан — БЕРНШТЕЙН Серг. Натан. (1880 1968) математик, акад. АН СССР (1929; чл. корр. с 1924), акад. АН УССР (1925). Род. в Одессе. Окончил в Париже ун т (1899) и Политехнич. школу (1901), д р матем. наук (1904, Париж), проф. (1907), д р чистой математики …   Российский гуманитарный энциклопедический словарь

  • ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ — система многочленов {Р n (х)}, удовлетворяющих условию ортогональности причем степень каждого многочлена Р n (х). равна его индексу п, а весовая функция (вес) на интервале ( а, b).или (в случае конечности a и b) на отрезке [a, b]. О. м. наз. о р… …   Математическая энциклопедия

  • СССР. Общественные науки —         Философия          Будучи неотъемлемой составной частью мировой философии, философская мысль народов СССР прошла большой и сложный исторический путь. В духовной жизни первобытных и раннефеодальных обществ на землях предков современных… …   Большая советская энциклопедия

  • Медицина — I Медицина Медицина система научных знаний и практической деятельности, целями которой являются укрепление и сохранение здоровья, продление жизни людей, предупреждение и лечение болезней человека. Для выполнения этих задач М. изучает строение и… …   Медицинская энциклопедия

  • Прусский социализм — Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения. Прусский социализм (Прусский государственный социа …   Википедия

  • НАИЛУЧШЕЕ ПОЛНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ — наилучшее приближение функции кпеременных алгебраическими или тригонометрич. многочленами. Пусть X пространство Сили 2p периодических по каждому переменному функций непрерывных либо суммируемых со степенью на k мерном кубе периодов. Н. п. п.… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»