- ПОНТРЯГИНА КВАДРАТ
- когомологическая операция
типа ( 
), т. е. отображение
определенное для любой пары топология, пространств (X, Y).и такое, что для любого непрерывного отображения
имеет место равенство
(естественность). П. к. обладает следующими свойствами:
1)
, где 
- вложение;
2)
и 
, где 
- гомоморфизм приведения по mod 2;
3)
, где 
-изоморфизм надстройки, а 
- Постникова квадрат (иными слонами, когомологич. надстройкой над 
является 
). Если
и
- представляющие отображения, то
.
Свойства 1), 2) однозначно характеризуют П. к. и потому могут быть приняты за определяющие его аксиомы. Конструктивно П. к. определяется формулой
где
- коцикл mod 2* (о Ui -произведениях см. ст. Стинрода квадрат).
Существует (см. [5], [6]) обобщение П. к. на случай произвольного нечетного простого р. Это обобщение является когомологич. операцией типа (
, 2 рn) и наз. p-й степенью Понтрягина 
. Для операции 
имеют место формулы (к-рые эту операцию однозначно характеризуют):
где
- вложение;
где -
гомоморфизм приведения по модулю p, обобщающие соответствующие формулы для 
. Аналог формулы 3) для 
имеет вид 
, означающий, что когомологич. надстройка над 
при p>2 равна нулю. При р>2 имеет место равенство 
, в к-ром умножение можно считать как внешним (
-умножением), так и внутренним (
-умножением). При р=2 соответствующее равенство имеет место только с точностью до слагаемых порядка 2.
Наиболее общим образом П. к. определяется для когомологий над произвольной конечно порожденной абелевой группой p(см. [2], [31). Окончательный вид этого обобщения (см. [6J): П. к. представляет собой кольцевой гомоморфизм
где Г - функтор разделенных степеней алгебры. Если p=
, то р-я компонента этого гомоморфизша совпадает с p- йстепенью Понтрягина 
(при р=2 - с П. к. 
).
Лит.:[1] Понтрягин Л. С., "Докл. АН СССР", 1942, т. 34, с. 39-41; [2] Болтянский В. Г., Гомотопическая теория непрерывных отображений и векторных полей, М., 1955; [3] Постников М. М., "Докл. АН СССР", 1949, т. 64, М 4, с. 461-62; [4] Browder W., Тhornas E., "Quart. J. Math.", 1962, v. 13, p. 55-60; [5] Thomas E., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1956, v. 42, p. 266-69; [6] его же, The centralized Pontrjagin cohomology operations and rings with divided powers, Providence, 1957.
С. Н. Малыгин, М. М. Постников.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
