ПОЛИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА

n-линейная форма, на унитарном A-модуле Е- полилинейное отображение (здесь А - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей). П. ф. наз. также полилинейной функцией ( п-л инейной функцией). Поскольку П. ф.- частный случай полилинейных отображений, можно говорить о симметрических, кососимметричееких, знакопеременных, симметризованных и кососимметризованных П. ф. Напp., определитель квадратной матрицы порядка пнад А- это кососимметризованная (и тем самым знакопеременная) n-линейная форма на А ⁿ, n -линейные формы на Еобразуют А-модуль L_n(E, А), естественно изоморфный модулю всех линейных форм на . В случае n=2 (n=3) говорят о билинейных формах (трилинейных формах).

n-линейные формы на Етесно связаны с праз ковариантными тензорами, т. е. элементами модуля. . Точнее, имеется линейное отображение

такое, что

для любых . Если модуль Есвободен, то g инъективно, а если Ек тому же конечно порожден, то и биективно. В частности, n-линейные формы на конечномерном векторном пространстве над полем отождествляются с праз ковариантными тензорами. Для любых форм определяется их тензорное произведение формулой

Для симметризованных П. ф. определено также симметрич. произведение

а для кососимметризованных П. <ф.- внешнее произведение

Эти операции распространяются на модуль L*( Е, А)= , где L₀(E, A)=A, L₁(E, А)=Е*, модуль симметризованных форм А). и модуль кососимметризованных форм L_a(E, A) соответственно, превращая их в ассоциативные алгебры с единицами. Если Е - конечно порожденный свободный модуль, то отображения g_n определяют изоморфизм тензорной алгебры Т( Е*). на L_*(E, А).и внешней алгебрыL( Е*). на алгебру L_a(E, А), совпадающую в этом случае с алгеброй знакопеременных форм. Если А - поле характеристики 0, то имеется также изоморфизм симметрич. алгебры S( Е*).на алгебру L_s(E, А).симметрич. форм. Всякой П. ф. соответствует функция , заданная формулой

Функции вида w_n(u) наз. формами степени n на Е;если Е - свободный модуль, то в координатах относительно произвольного базиса они задаются однородными многочленами степени п. В случае n=2 (n=3) получаются квадратичные формы и кубические формы на Е. Форма F=w(и).полностью определяет симметризацию s _п и формы , имеющую вид

В частности, для п=2

Отображения g_n и g_n определяют гомоморфизм алгебры S( Е*).на алгебру всех полиномиальных функций Р (Е), к-рый является изоморфизмом, если Е - свободный конечно порожденный модуль над бесконечной областью целостности А.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [3] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. А. Л. Онищик.