ПОЛЕ

- коммутативно-ассоциативное кольцо с единицей, множество ненулевых элементов к-рого не пусто и образует группу относительно умножения. П. можно охарактеризовать также как простые ненулевые коммутативно-ассоциативные кольца с единицей. Примеры полей: П. рациональных чисел , П. действительных чисел , П. комплексных чисел , конечные П. (см. Галуа поле), П. частных областей целостности.

Подполем поля Кназ. подмнбжество , к-рое само является П. относительно операций сложения и умножения, заданных в К. Напр.,если s-нек-рый автоморфизм поля К, то множество является подполем в К, Если М и N - подполя поля К, то их пересечение будет подполам в К;кроме того, существует наименьшее подполе MN поля К, содержащее Ми Nи называемое композитом полей Ми N(в К). Каждое П. содержит единственное простое (т. е. не содержащее подполей) подполе. Любой гомоморфизм полей является вложением. Для произвольного поля Ксуществует единственный гомоморфизм , переводящий единицу кольца в единицу поля К. Если ker j=0, то Кназ. полем характеристики нуль. В этом случае простое подполе поля А совпадает с П. частных кольца Ф () и изоморфно нолю . Если ker , то ker j=р . для нек-рого простого р. Это рназ. характеристикой поля К. Простое подполе поля Ксовпадает в этом случае с .

Если kподполе поля K, то Кназ. расширением поля k. Пусть Y - нек-рое подмножество в К, тогда определено поле k(Y) - наименьшее подполе поля К, содержащее Yи k. Говорят, что k(Y).получено из kприсоединением элементов множества Y. Основные задачи теории полей - это описание всех подполей данного П., всех П., содержащих данное П., то есть надполей (см. Расширение поля), изучение всех вложений П. в нек-рое другое П., классификация полей с точностью до изоморфизма и изучение группы автоморфизмов данного П.

Поле Кназ. конечно порожденным над своим подполем k, если существует конечное множество такое, что K=k(Y). Любое такое П. можно интерпретировать как П. рациональных функций k(X).нек-рого неприводимого алгебраич. многообразия X, определенного над k. Изучением таких П. занимается алгебраическая геометрия. В частности, задача классификации таких П. эквивалентна задаче бирациональной классификации неприводимых алгебраич. многообразий, а задача нахождения группы всех автоморфизмов П. K=k(X), оставляющих на месте все элементы поля k, эквивалентна задаче нахождения всех бирациональных автоморфизмов многообразия X, определенных над k.

Изучение конечных сепарабельнях расширений произвольных П. составляет предмет Галуа теории. В теории чисел важную роль играет рассмотрение конечных расширений поля , называемых П. алгебраич. чисел. Изучением этих П. занимается алгебраическая теория чисел.

Теория полей изучает также П., несущие нек-рые дополнительные структуры, напр. дифференциальные П., топологические П., упорядоченные П., формально вещественные и формально р-адические П. и др.

Зарождение теории П. (в рамках теории алгебраич. уравнений) относится к сер. 19 в. После публикации работ Э. Галуа (Е. Galois) и Ж. Лагранжа (J. Lagrange) в теории групп и К. Ф. Гаусса по теории чисел стало очевидно, что нужно исследовать природу самих числовых систем. Концепции П. появляются в работах Л. Кронекера (L. Kronecker) и Р. Дедекинда (R. Dedekind). P. Дедекинд ввел понятие П., к-рое он первоначально называл "рациональной областью". Теория Р. Дедекинда опубликована в примечаниях и дополнениях к "Теории чисел" П. Дирихле (P. Dirichlet). В них Р. Дедекинд существенно дополнил и развил теорию чисел, теорию идеалов и теорию конечных П. Термин "П." впервые появился в издании этой книги в 1871.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] Вандер Вар ден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [3] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963. Л. В. Кузьмин.