БЕМОЛЬНАЯ ФОРМА это:

БЕМОЛЬНАЯ ФОРМА

- измеримая r-мерная дифференциальная форма на открытом множестве такая, что:

комасса для нек-рого ;

существует с


для любого симплекса , удовлетворяющего условию: существует измеримое такое, что измерима на и на любой из его граней , составляющих , причем


здесь означает -мерную меру Лебега пересечения множества Мс нек-рой s-мерной плоскостью.

Если Xесть r-мерная бемольная коцепь в Л, то существует ограниченная -мерная форма в R, измеримая в любом симплексе относительно плоскости, содержащей , и


причем

где - комасса коцепи X. Обратно, любой г-мерной Б. ф. в соответствует но формуле (1) единственная r-мерная бемольная коцепь для любого симплекса , удовлетворяющего вышеуказанному условию, причем

Форма и коцепь Xназ. ассоциированным и. Формы, ассоциированные с одной и той же коцепью, эквивалентны, т. е. равны почти всюду в R, и среди них есть бемольный представитель.

Между n-мерными бемольными коцепями Xи классами эквивалентных измеримых ограниченных функций существует взаимно однозначное соответствие, при к-ром , а


где - последовательность -мерных симплексов, стягивающихся к точке так, что их диаметры ,

но


при нек-ром для всех - объем

Пусть - измеримая суммируемая функция в R, значениями к-рой являются r-векторы; она наз. соответствующей r-мерной бемольной цепи А, если


для всех r-мерных бемольных коцепей X(и тогда Аназ. лебеговой цепью). Отображение является линейным взаимно однозначным отображением множества классов эквивалентности функций в пространство бемольных цепей , причем где - масса цепи - масса r- вектора . Кроме того, множество образов непрерывных функций плотно в .

Представления (1) и (2) обобщают аналогичные результаты для диезных форм и диезных коцепей; напр., дифференциал Б. ф. , определяемый формулой , является также Б. ф., и выполнена теорема Стокса: для любого симплекса ; r-мерная бемольная коцепь - слабый предел гладких коцепей, т. е. таких, для к-рых ассоциированные формы со являются гладкими, и т. д.

Лит.:[1] Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960. М. И. Войиеховский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "БЕМОЛЬНАЯ ФОРМА" в других словарях:

  • БЕМОЛЬНАЯ НОРМА — мерной полиэдральной цепи Ав пространстве Е n норма , определяемая следующим образом: , где масса цепи ее граница, и нижняя грань берется по всем мерным полиэдральным цепям. Свойства Б. н.: для любой клетки …   Математическая энциклопедия

  • ДИЕЗНАЯ ФОРМА — r мерная дифференциальная форма со в открытом подмножестве такая, что конечны комасса |w|0 икомассовая константа Липшица где р, и |р q| длина вектора р q. Диезной нормой формы w наз. число Теорема Уитни. Каждой r мерной диезной коцепи Xв… …   Математическая энциклопедия

  • ДИЕЗНАЯ НОРМА — в пространстве r мерных полиэдральных цепей С r( Е п) наибольшая из полунорм удовлетворяющих для любой клетки sr объема |sr| неравенствам: где Tvsr клетка, полученная сдвигом на вектор длины |u|. Если А = е а isir, то Д. н. А* выражается так: где …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»