ПОГРУЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ ГЕОМЕТРИЯ

- теория, изучающая внешнюю геометрию и связь между внешней и внутренней . геометрией подмногообразий евклидова или риманова пространства. П. м. г. является обобщением классич. дифференциальной геометрии поверхностей в евклидовом пространстве . Локально внутренняя и внешняя геометрии погружения многообразия обычно описываются соответственно с помощью первой и второй квадратичных форм. Для погружений m-мерного многообразия М ^т в многообразие Nⁿ существует понятие эквивалентности (см. Погружение многообразия). В П. м. г. изучаются свойства, одинаковые у эквивалентных погружений, т. е. свойства поверхности F^m, определяемой погружением f. В связи с этим в геометрических вопросах погружение и поверхность не различаются. Погружение f индуцирует отображение касательных расслоений.

Первая квадратичная (фундаментальная) формам поверхности Fопределяется на ТМ ^т равенством

где - риманова метрика в Nⁿ. Здесь и далее векторы не различаются в обозначениях с их образом df(X). Квадратичная форма gопределяет на М ^т структуру риманова пространства. ; свойства составляют предмет внутренней геометрии поверхности F. Если {x^k}, {у^a}, k=1,...,т,a=1,..., п,- локальные координаты в М ^т и Nⁿ, то погружение f задается параметрич. уравнениями . В локальных координатах

где {Xⁱ},{Y^j} - координаты векторов X, Y,

а - компоненты метрич. тензора риманова пространства Nⁿ.

К внутренней геометрии поверхности Fпринадлежат такие понятия, как длина кривой, объем области, связность Леви-Чивита внутренней метрики, ее преобразования кривизны R(X, Y)Zи т. д. Относящиеся сюда вычислит, формулы см. в ст. Риманова геометрия.

Вторая (фундаментальная) форма Нопределяется равенством

где - связности Леви-Чивита на Nⁿ, М ^т соответственно. Фактически Нзависит не от векторных полей X, Y, а лишь от их значений в точке ри является билинейным симметричным отображением

где vM^m - нормальное расслоение М ^т в Nⁿ. Для каждого единичного вектора равенства <Н( Х, Y),x>_p = A_x(X, Y)_p = <A_x(X), Y> _р определяют вторую квадратичную форму h_x и второй фундаментальный тензор A_x. В локальных координатах компоненты h_ij(x) формы h_x имеют вид

где {xb} - координаты вектора x.

Для формы h_x обычным образом (т. е. так же, как для поверхности в евклидовом пространстве R³) определяют главные кривизны, главные направления (зависящие от x) и другие связанные с ними понятия.

Исходя из элементарных симметрия, функций, можно строить различные функции главных кривизн. Таковы, напр., средняя кривизна

где {x_i} - ортонормированный набор нормалей, а K_i(x) - главные кривизны формы h_i;кривизна Чжэня - Лашофа

где w_l; - объем сферы S^l;длина второй основной формы

(см. [1] - [3]).

Значение первой и второй квадратичных форм поверхности в точке ропределяет ее вблизи рс точностью до бесконечно малых 2-го порядка. Каждому , соответствует соприкасающийся параболоид. (Для поверхности в евклидовом пространстве - это соприкасающийся параболоид для проекции поверхности на (m+1)-плоскость, определяемую ( ТМ ^т) _р и x.) При т=п-1 (т. е. в случае гиперповерхности) форма h_x единственна с точностью до знака. В этом случае вторые фундаментальную и квадратичную формы не различают, и теория приобретает большое сходство с классич. теорией поверхностей в .

Основные уравнения. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм не являются независимыми. Они связаны уравнениями Гаусса и Петер-сона - Кодацци - Майнардя.

Уравнения Гаусса

выражают преобразование кривизны поверхности Fчерез преобразование кривизны Nⁿ и коэффициенты квадратичных форм (здесь - скобка Пуассона). Инвариантная форма уравнений Петерсона - Кодацци - Майнарди связана с понятием риманова расслоения над . Расслоение Е(l) l -мерных плоскостей над римановым многообразием наз. римановым, если в Е(l).задана риманова метрика и риманова (т. е. согласованная с метрикой) связность Билинейное g-симметричное отображение

наз. вторым фундаментальным тензором в Е;равенство

определяет вторую фундаментальную форму в Е, ассоциированную с A_x. Уравнения

(2)

(3)

где - форма кривизны связности D, наз. уравнениями Петерсона - Кодацци -Майнарди. Уравнения (3) часто наз. уравнениями Риччи (координатную запись уравнений (2) - (3) см. в [1]). Уравнения (2) - (3) всегда выполнены, если Е(l) - нормальное расслоение М ^т в Nⁿ и D_Xx равно проекции на (vМ ^т) _р.

Имеется следующее обобщение Бонне теоремы (см. [2]). Пусть Е(l) - риманово расслоение над односвязным и пусть на Е(l).задан второй фундаментальный тензор А _x. Если при этом выполняются соотношения (1) - (3), то существует изометрич. погружение в евклидово пространство с нормальным расслоением Е(l). Такое погружение единственно в следующем смысле: если f, f' - изометрич. погружении в с нормальными расслоениями Е, Е', оснащенными, как и выше, и нек-рая изометрия накрывается отображением , согласованным с оснащенным, то существует такая изометрия Ф пространства , что

Классы погружений. Многомерная П. м. г. возникла и долгое время развивалась как теория существования изометрич. погружений римановых многообразий как правило в , реже - в пространство постоянной кривизны К(см. Изометрическое погружение). Что касается внешне геометрич. сврйств и связей между внешней и внутренней геометрией поверхностей, то она подробно изучена только для двумерных поверхностей в . В этом случае существует классификация точек поверхности, с помощью к-рой двумерные поверхности разбиваются на классы: выпуклые поверхности, седловые поверхности и развертывающиеся поверхности. Именно эти классы являются основным объектом изучения в дифференциальной геометрии в целом. В многомерном случае такая классификация точек поверхности неизвестна (1983). Известны только нек-рые классы многомерных поверхностей: k-выпуклые, k-седловые и k-развертывающиеся.

k- выпуклые поверхности. Поверхность F^m в наз. k-выпуклой, если для каждой точки существует нормаль , для к-рой h_p(x).положительно определена, и для любого k-мерного направления найдется в s_k двумерное направление s₂ такое, что h_p(x)(X, Y)>0 (либо h_p(x)(X, Y)0) для каждого , при

. 2-выпуклая поверхность F^m в есть выпуклая гиперповерхность в (см. [4]). Внутренняя метрика k-выпуклой поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рдля каждого k-мерного направления s_k касательного пространства найдется двумерное направление , в к-ром риманова кривизна строго положительна.

k-седловые поверхности. Поверхность F ^т в наз. k-cедловой, если каждой ее точке рдля каждой нормали число собственных значений h_p(x) одного знака не превосходит . Двумерная k-седловая поверхность есть обычная седловая поверхность в , от к-рой нельзя отсечь "горбушку" гиперплоскостью. Внутренняя метрика k-седловой поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рдля каждого k-мерного направления s_k касательного пространства найдется двумерное направление , в к-ром риманова кривизна не положительна. Если k-седловая поверхность полна в , то ее гомологии Н _i(F ^т) = 0 при (см.[4|, [5]). Полная m-мерная k-седловая поверхность F^m с неотрицательной кривизной Риччи есть цилиндр с ( т- -k+1)-мерной образующей.

k-pазвертывающиеся (k-параболические) поверхности. Поверхность F^m в наз. k- раавертывающейся, если в каждой ее точке рсуществует k-мерное направление s_k(TF^m)_p, к-рое состоит из собственных векторов, принадлежащих нулевому собственному значению матрицы второй квадратичной формы относительно каждой нормали в данной точке. Внутренняя метрика k-развертывающейся поверхности обладает следующим свойством: в каждой точке рнайдется подпространство s_k касательного пространства (TF^m)_p размерности kтакое, что R _ХY=0 для любого вектора , где - любой вектор касательного пространства, R_XY- оператор кривизны. Если k-развертывающаяся поверхность F^m полна в Rⁿ и несет на себе внутреннюю метрику неположительной кривизны Риччи, то она является цилиндром с k-мерной образующей [6].

Свободные погружения. Если образ Н _р( Х, Y).в каждой точке имеет максимально возможную размерность т( т+1)/2, то погружение наз. свободным. В этом случае первые и вторые производные радиус-вектора погружения F^m образуют линейно независимую систему. В классе свободных погружений существует изометрич. погружение в размерность n>m(m+1)/2+3m+5, но при этом полностью теряется связь между внутренней и внешней геометрией. Напр., два свободных изометрич. погружения m-мерного многообразия М ^т в , n>m(m+1)/2+Зm+5, можно соединить гомотопией, состоящей из свободных изометрич. погружений М ^m (см. [7]).

Погружения с малой коразмерностью. Если коразмерность qпогружения мала, то из условий на внутреннюю метрику многообразия вытекают условия на вторую квадратичную форму поверхности. А из свойств второй квадратичной формы далее выводятся топологические и внешне геометрич. свойства поверхности. В частности, получаются теоремы непогружаемости. Так, если М ^т с секционной кривизной изометрически погружено в с q<m, то М ^т есть (q+1)-седловая поверхность и ее гомологии (в случае полноты) H_k=0 при (см. [5]). В частности, компактное М ^т с не может быть погружено в (см. [8], [9]). Если же К _s<0, то М ^т даже локально непогружаемо в (см. [9]). Аналогично, М ^т с K_s<1 непогружаемо в сферу S^2m-2 радиуса 1. Компактное F^m в S^2m-1 имеет нулевую эйлерову характеристику и компактное параллелизуемое накрывающее .многообразие, если К _s<1 (см. [10]). О поверхности F^m в при и К _s<0 известно, что ее нормальные Понтрягина классы удовлетворяют условию

Если К _s>0, то из следует, что F^m есть (q+1)-выпуклая поверхность [9]. В частности, при q=1- это 2-выпуклая поверхность. Если K_s>0 и q=2, то компактная поверхность F^m,, имеет гомологии сферы [11]. Если F^m в имеет неположительную секционную кривизну, то она - (т-q(q+1))-развертывающаяся и, в случае полноты, F ^т есть цилиндр с ( т-q(q+1))-мерной образующей [10]. Если же М ^т= и , то погружение многообразия М ^т в есть (т-2k-q )-развертывающаяся поверхность [8] и, в случае полноты, F^m есть цилиндр с ( т-2k-q )-мерной образующей. При более общих предположениях компактная поверхность

есть произведение гиперповерхностей [12].

Лит.:[1] Эйзенхарт Л., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [2] Сhen В., Geometry of submanifolds, N.Y., 1973; [3] С hern S. -s., Lashof H. K., "Amer. J. Math.", 1957, v. 79, p. 306-18; [4] Шефель С. 3., "СиО. матем. ж.", 1969, т. 10, № 2, с. 459-66; [5] Глазырин В. В., "Докл. АН СССР", 1977, т. 233, № 6, с. 1028-30; [6] Наrtman P., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1965, v. 115, p. 94-109 1970, v. 147, p. 529-40; [7] Громов М. Л., "Докл. АН СССР", 1970, т. 192, № 6, с. 1206-09; [8] Сhеrn S., Кuiреr N.. "Ann. of Math.", 1952, v. 56, № 3, p. 422-30; [9] Боровский Ю. Е., Шефель С. 3., "Сиб. матем. ж.", 1978, т. 19, №6, с. 1386-87; [10] Борисенко А. А., "Матем. сб.", 1977, т. 104, №4, с. 559-76; [11] Moore J., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1978, v. 70, № 1; [12] Gardner R. В., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1977, v. 83, № 1, p. 1-35.

В. А. Топоногов, С. З. Шефелъ.