ПЕАНО АКСИОМЫ

ПЕАНО АКСИОМЫ

- система из пяти аксиом для натурального ряда Nи функции S(прибавление 1) на нем, введенная Дж. Пеано (G. Реапо, 1889):


для любого свойства M (аксиома индукции).

В первом варианте вместо 0 использовалась 1. Сходные аксиомы независимо предложил Р. Дедекинд (R. Dedekind, 1888). П. а. категоричны, т. е. любые две системы (N, S,0) и (N', S',0'), удовлетворяющие П. а., изоморфны. Изоморфизм определяется функцией f(x, x), где


Существование f( х, у).для всех пар ( х, у).и взаимная однозначность при доказываются по индукции. П. а. позволяют развить теорию чисел, в частности ввести обычные арифметич. функции и доказать их свойства. Все аксиомы независимы, однако (3) и (4) можно объединить в одну:


если определить х<у как


Независимость доказывается предъявлением модели, в к-рой верны все аксиомы, кроме рассматриваемой. Для (1) такая модель - натуральный ряд, начиная с единицы; для (2) - множество , где S0=1/2, S (1/2)=1: для (3) - множество {0}; для (4) - множество {0, 1} с S0=S1=1; для (5) - множество {-1}

Иногда под арифметикой Пеано понимают систему в языке 1-го порядка с функциональными символами состоящую из аксиом


определяющих равенств для и схемы индукции


(см. Арифметика формальная).

Лит.:[l] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М. 1957. Г. Б. Минц.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

См. также в других словарях:

  • Аксиомы Пеано — Аксиомы Пеано  одна из систем аксиом для натуральных чисел. Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для …   Википедия

  • ПЕАНО (Peano) Джузеппе — (1858 1932) итальянский математик. Труды по основаниям математики, математическому анализу. Автор аксиоматики натурального ряда чисел (аксиомы Пеано) …   Большой Энциклопедический словарь

  • Пеано Джузеппе — (Peano) (1858 1932), итальянский математик. Труды по основаниям математики, математическому анализу. Автор аксиоматики натурального ряда чисел (аксиомы Пеано). * * * ПЕАНО Джузеппе ПЕАНО (Peano) Джузеппе (1858 1932), итальянский математик. Труды… …   Энциклопедический словарь

  • ПЕАНО — (Peano), Джузеппе (27 авг. 1858 – 20 апр. 1932) – итал. математик и логик. Проф. математики в Туринском ун те (1890–1932). Известен важными результатами в матем. анализе, теории дифференц. уравнений (где ему принадлежит классич. формулировка осн …   Философская энциклопедия

  • Формальная арифметика — Аксиомы Пеано одна из систем аксиом для натуральных чисел. Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для… …   Википедия

  • НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД — непустое множество в к ром определена унарная операция S(т. е. S однозначное отображение Nв N), удовлетворяющая условиям (Пеано аксиомы): 1) для любого аиз N: 2) для любых а и bиз N:если то 3) любое подмножество N, к рое содержит 1 и вместе с… …   Математическая энциклопедия

  • Натуральное число — Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.). Натуральные числа (естественные числа)  числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисл …   Википедия

  • Арифметика — Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ …   Википедия

  • аксиоматический метод —         АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) принятое положение способ построения научной теории, при котором в доказательствах… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • История арифметики — Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы …   Википедия