БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ это:

БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

распределение вероятностей, к-рое при любом п=2,3, 4, ... может быть представлено как композиция (свертка) подинаковых распределений вероятностей. Определение Б. д. р. в равной степени применимо к распределениям на прямой, в конечномерных евклидовых пространствах и в нек-рых еще более общих случаях. Ниже рассматривается одномерный случай.

Характеристич. функции f(t).В. д. р. наз. безгранично делимыми. Каждая такая функция при любом пможет быть представлена как n-я степень некоторой другой характеристич. функции:


Примерами Б. д. р. могут служить нормальное распределение, Пуассона распределение, Коши распределение, "хu-квадрат" распределение. Проверять свойство безграничной делимости проще всего с помощью характеристич. функций. Композиция Б. д. р. и предел слабо сходящейся последовательности Б. д. р. суть снова Б. д. р.

Случайную величину, определенную на нек-ром вероятностном пространстве, наз. безгранично делимой, если при любом пона может быть представлена в виде суммы пнезависимых одинаково распределенных случайных величин, определенных на том же пространстве. Распределение каждой такой величины - Б. д. р. Обратное не всегда верно. Так, если взять дискретное вероятностное пространство, образованное неотрицательными целыми числами m=0, 1, 2, ... с приписанными им пуассоновскими вероятностями


то случайная величина не будет безгранично делимой, хотя ее распределение вероятностей (распределение Пуассона) есть Б. д. <р.

Б. д. р. впервые появились в связи с изучением стохастически непрерывных однородных случайных процессов с независимыми приращениями (см. [1], [2], [3]). Так называют процессы удовлетворяющие требованиям: 1) 2) распределение вероятностей приращения зависит только от ; 3) при разности


являются взаимно независимыми случайными величинами; 4) для любого


при . Для такого процесса значение при любом будет иметь Б. д. р. и соответствующая характеристич. функция удовлетворяет соотношению:


Общий вид для таких процессов в предположении конечности дисперсий был найден А. Н. Колмогоровым [2] (частный случай приводимого ниже общего канонич. представления Б. д. р.).

Характеристич. функция Б. д. р. нигде не обращается в нуль, и ее логарифм (в смысле главного значения) допускает представление вида:


(так наз. каноническое представление Леви- Хинчина), где


- нек-рая действительная постоянная, - неубывающая функция ограниченной вариации с Подинтегральное выражение при принимают равным При любом выборе постоянной и функции с указанными выше свойствами формула (*) определяет логарифм характеристич. функции нек-рого Б. д. р. Соответствие между Б. д. р. и парами взаимно однозначно ивзаимно непрерывно. Последнее означает, что Б. д. р. слабо сходятся к предельному Б. д. р. тогда и только тогда, когда и слабо сходятся к при Примеры. Пусть

Тогда для нормального распределения с математич. ожиданием и дисперсией в формуле следует положить


Для распределения Пуассона с параметром имеем


Для распределения Коши с плотностью

имеем


Канонич. представление (*) удобно с чисто "технической" точки зрения (благодаря тому, что Gимеет ограниченную вариацию), однако функция Gне имеет прямого вероятностного истолкования. Поэтому используют и другую форму представления Б. д. р., допускающую непосредственную вероятностную интерпретацию. Пусть функции определены при соответственно, формулами:


Эти функции неубывающие, при и при в окрестности нуля функции могут неограниченно возрастать. Обозначая дополнительно через s 2 скачок функции Gв нуле, формулу (*) можно переписать в виде:


(каноническое представление Леви). Функции описывают, грубо говоря, частоту скачков различного размера в однородном процессе с независимыми приращениями, для к-рого


Важная роль Б. д. р. в предельных теоремах теории вероятностей связана с тем, что эти и только эти распределения могут быть предельными для сумм независимых случайных величин, подчиненных требованию асимптотической пренебрегаемости. При этом рассматривают последовательность серий взаимно независимых случайных величин и затем подбирают взаимно независимые случайные величины имеющие Б. д. р. (так наз. сопровождающие Б. д. р.); характеристич. функция величины определяется по характеристич. функции величины так, чтобы выполнялось следующее основное свойство: распределения сумм

сходятся к предельному распределению (при нек-ром выборе констант ) тогда и только тогда, когда сходятся к предельному распределения сумм


Для симметричного распределения полагают


В других случаях выражение сложнее и содержит так наз. урезанные математич. ожидания Свойства Б. д. р. описывают в терминах функций, входящих в канонич. представления. Так, напр., безгранично делимая функция распределения непрерывна тогда

и только тогда, когда


Важным частным случаем Б. д. р. являются так наз. устойчивые распределения. См. также Безгранично делимых распределений разложение.

Лит.:[1] Finetti В. de, "Atti Accad. naz. Lincei. Mem. Cl. sci. fis., mat. e natur, Sez. 1", ser. 6, 1929, v. 10, p. 163-68; [2] Колмогоров А. Н., там же, 1932, v. 15, p. 866-69; [3] Levу P., "Ann. Scuola Norm, di Pisa", 1934, v. 3, p. 337-66; [4] Levу Р., Theorie de 1'addition des variables aleatoires, P., 1937; [5] Xинчин А. Я., Предельные законы для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1938;[6] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949; [7] Fisz M., "Ann. Math. Statist.", 1962, v. 33, p. 68-84; [8] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [9] Сазонов В. В., Тутубалин В. Н., "Теория вероятн. и ее примен.", 1966, т. 11, с. 3-55. Ю. В. Прохоров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ" в других словарях:

  • БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РАЗЛОЖЕНИЕ — представление безгранично делимых распределений в виде композиции (свертки) нек рых распределений вероятностей. Распределения, участвующие в Б. д. р. р., наз. компонентами разложения. Нек рые Б. д. р. р. могут иметь компоненты, к рые не являются… …   Математическая энциклопедия

  • РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — одно из основных понятий вероятностей теории и математической статистики. При современном подходе в качестве математич. модели изучаемого случайного явления берется соответствующее вероятностное пространство{W, S, Р}, где W множество элементарных …   Математическая энциклопедия

  • ПУАССОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целые неотрицательные значения k=0,1,2, . . ., с вероятностями где l>0 параметр. Производящая функция и харак теристич. функция П. р. определяются соответственно равенствами… …   Математическая энциклопедия

  • УСТОЙЧИВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение вероятностей, обладающих свойством, что для любых a1>0, b1, a2>0, b2 имеет место соотношение где a>0 и b нек рые постоянные, F функция распределения У. р., * символ операции свертки двух функций распределения. Характеристическая… …   Математическая энциклопедия

  • ЧАСТИЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ ОБЛАСТЬ — безгранично дeлимого распределения совокупность всех функций распределения F (x)таких, что для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин X1, X2,... с функцией распределения F(х)при подходящем выборе постоянных А п… …   Математическая энциклопедия

  • СЕРИЙ СХЕМА — последовательность серий, двойная последовательность случайных величин , в к рой случайные величины , образующие n ю серию, взаимно независимы при любом п. Простейшая С. с. соответствует случаю kn=n. Класс случайных величин, образующих С. с.,… …   Математическая энциклопедия

  • ЛЕВИ КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — формула для логарифма характеристич. функции безгранично делимого распределения: где характеристики Л. к. п. М, N удовлетворяют следующим условиям: и N(х) неубывающие непрерывные слева функции на соответственно и такие, что Каждому безгранично… …   Математическая энциклопедия

  • ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ — теории вероятностей общее название ряда теорем теории вероятностей, указывающих условия возникновения тех или иных закономерностей в результате действия большого числа случайных факторов. Первые П. т., установленные Я. Бернулли (J. Bernoulli,… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»