БАШНЯ ПОЛЕЙ

- последовательность расширений

нек-рого поля В зависимости от свойств расширений башни наз. нормальными, абелевыми, сепарабель-ными и др. Понятие Б. п. играет важную роль в Галуа теории, где вопрос о разрешимости уравнения в радикалах сводится к возможности погружения поля коэффициентов этого уравнения в нормальную и абелеву Б. п.

В полей классов теории возникает башня

где - нек-рое поле алгебраич. чисел, а каждое поле является максимальным абелевым неразветвленным расширением поля Такие башни наз. башнями полей классов. Группа Галуа каждого расширения изоморфна, в силу закона взаимности, группе классов идеалов поля а так как последняя конечна, то конечны и все расширения Объединение K полей является максимальным разрешимым неразветвленным расширением поля . Вопрос о конечности расширения (проблема Б. п.) был поставлен К. Фуртвенглером (К. Furtwangler) в 1925 и отрицательно решен в 1964 (см. [2]). Примером поля, Б. п. классов к-рого бесконечна, является расширение поля рациональных чисел, получаемое присоединением В частности, такое поле нельзя вложить ни в какое поле алгебраич. чисел, в к-ром имеет место однозначность разложения чисел на простые множители. Решение проблемы имеет применения в теории алгебраич. чисел, напр, помогает получить точную оценку роста дискриминантов полей алгебраич. чисел.

Лит,.:[1] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [2] Голод Е. С., Шафаревич И. Р., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1964, т. 28, № 2, с. 261-72.

А. Н. Паршин.