НОРМАЛЬНОЕ СЕМЕЙСТВО

аналитических функций в области - такое семейство Sоднозначных аналитич. ций f(z)комплексных переменных в области Dпространства , что из любой последовательности функций из Sможно выделить подпоследовательность равномерно сходящуюся внутри Dк аналитич. ции или к бесконечности. При этом, но определению, подпоследовательность равномерно внутри Dсходится к бесконечности, если для любых компакта и числа М>0 можно указать такой номер что для всех

Семейство Sназ. нормальным семейством в точке если Sнормально в нек-ром шаре с центром . Семейство Sнормально в области Dтогда тт только тогда, когда оно нормально в каждой точке . Всякое компактное семейство голоморфных функций является Н. <с; обратное заключение неверно (см. Компактности принцип). Если семейство Sголоморфных функций в области таково, что ни одна из функций не принимает двух определенных значений, то Sесть Н. с. в D(теорема Монтеля). Этот признак Н. с. значительно упрощает исследование аналитич. ций в окрестности существенно особой точки (см. также Пикара теорема). Нормальное семейство мероморф-ных функций в области определяется аналогично: Sесть Н. с. мероморфных функций в D, если из любой последовательности функций из Sможно выделить подпоследовательность , равномерно внутри Dсходящуюся к мероморфной функции или к бесконечности. При этом, по определению, равномерно внутри Dсходится к (случай включается), если для любых компакта и числа существуют номер и круг радиуса с центром в любой точке такие, что при выполняется

когда или

когда . Если семейство Sмероморфных функций в области таково, что ни одна из функций не принимает трех определенных значений, то Sесть Н. с. (теорема Монтеля). Семейство Sмероморфных функций есть Н. с. в области тогда и только тогда, когда

на каждом компакте где

- т. н. сферическая производная функции f(z).

Начиная с 30-х гг. 20 в. Н. с. приобрели большое значение в исследованиях граничных свойств аналитических функций (см. также Предельное множество,[3], [4]). Мероморфная функция f(z)в односвязной области наз. нормальной функцией в области D, если семейство есть Н. с. в D; здесь g(z) пробегает семейство всех конформных автоморфизмов области D. Функция f(z) наз. нормальной в многосвязной области D, если она нормальна на универсальной накрывающей поверхности D. Если мероморфная в Dфункция f(z)опускает три значения, то f(z) - нормальная функция. Для того чтобы была нормальной в единичном круге необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Для нормальной мероморфной функции в единичном круге из существования асимптотического значения в граничной точке следует, что - угловое граничное значение. в Однако мероморфная нормальная функция в круге может и не иметь вовсе асимптотич. значений. Напротив, если - голоморфная нормальная функция в , то даже угловые граничные значения существуют на множестве точек единичной окружности Г, плотном на Г.

Лит.:[1] Монтель П, Нормальные семейства аналитических функций, пер. с франц., М.- Л., 1936; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1-2, М., 1967-68; [3] Коллингвуд Э., Ловатер А., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [4] Ловатер А., в кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99-259.

Е. Д. Соломенцев.