НЁТЕРА - ЭНРИКЕСА ТЕОРЕМА

о канонических кривых - теорема о проективной нормальности канонической кривой и об определяемости ее квадратичными уравнениями.

Пусть - гладкая канонич. кривая (негиперэллиптическая) рода над алгебраически замкнутым полем ки - однородный идеал в кольце k[ х _п, ..., x_g-1], определяющий Xв Р ^g-1. Теорема Нётера - Энрикеса (наз. иногда также теоремой Нётера - Энрикеса - Петри) утверждает, что:

1) Xпроективно нормальна в ;

2) если , то X- плоская кривая степени 4, а если , то градуированный идеал порождается компонентами степени 2 и 3 (и это означает, что кривая Xявляется пересечением квадрик и кубик в через нее проходящих);

3) идеал I_X порождается компонентами степени 2 во всех случаях, кроме следующих: а) X- тригональная кривая, т. е. обладает линейным рядом (системой) размерности 1 и степени 3, б) X- кривая рода 6, изоморфная плоской кривой степени 5;

4) в исключительных случаях а) и б) квадрики, проходящие через X, высекают поверхность F, являющуюся соответственно: а) неособой рациональной линейчатой поверхностью степени причем ряд на Xвысекается линейной системой прямых на F, а при g=4 - квадрикой в (возможно конусом), б) поверхностью Веронезе в .

Эта теорема (в несколько иной, алгебраич. формулировке) была установлена М. Нётером [1]. Геометрич. изложение было дано Ф. Энрикесом (F. Enriques, о его результатах см. [2]; современное изложение в [3], [4], обобщение в [5]).

Лит.:[1] Nother M., "Math. Ann.", 1880, Bd 17, S. 263-84; [2] Вabbage D. W., "J. London Math. Soc", 1939, v. 14, № 4, p. 310 - 14; [3] Saint - Dоnat В., "Math. Ann.", 1973, Bd 206, S. 157-75; [4] Шокуров В. В., "Матем. сб.", 1971, т. 86, № 3, с. 367-408; [5] Аrbarellо Е.., Sernesi E., "Invent, math.", 1978, v. 49, p. 99- 119.

В. А. Псковских.