ЛОКАЛЬНЫЕ КОГОМОЛОГИИ

со значениями в пучке абелевых групп - когомоло-гии со значениями в пучке, носители к-рых содержатся в заданном подмножестве. Пусть X - топологии, пространство, - пучок абелевых групп на X, Z - локально замкнутое подмножество в X, т. е. замкнутое подмножество нек-рого открытого в Xподмножества V, тогда через обозначают подгруппу в состоящую из сечений пучка с носителями в Z. Если фиксировать Z, то соответствие определяет точный слева функтор из категории пучков абелевых групп на Xв категорию абелевых групп. Значение соответствующего i-го правого производного функтора на пучке обозначают через и наз. i-й группой локальных когомологий пространства Xсо значениями в относительно Z. При этом

Пусть - пучок на X, отвечающий предпуч-ку, к-рый сопоставляет любому открытому подмножеству группу Соответствие является точным слева функтором из категории пучков абелевых групп на Xв нее же. Значение его i-го правого производного функтора на пучке обозначается через и наз. пучком г'-х локальных когомологий пучка относительно Z. Пучок ассоциирован с предпучком, сопоставляющим открытому подмножеству группу

Существует спектральная последовательность сходящаяся к у к-рой (см. [2], [3]).

Пусть Z - локально замкнутое подмножество в X, Z'- замкнутое подмножество в тогда имеют место точные последовательности:

Если Zесть все X,a Z'- замкнутое подмножество в X, то последовательность (2) дает точную последовательность

и систему изоморфизмов

Пучки наз. i-ми лакунарными пучками пучка и имеют важные приложения к вопросу о продолжении сечений и классов когомологий пучка заданных на на все X(см. [4]).

Если X - локально нётерова схема, - квазикогерентный пучок на X, Z - замкнутая подсхема в X, то - также квазикогерентные пучки на X. Если - когерентный пучок идеалов на X, задающий подсхему Z, то имеют место изоморфизмы

Важными для приложений являются следующие критерии тривиальности и когерентности пучков локальных когомологий (см. [3], [4]).

Пусть X - локально нётерова схема или комплексное аналитич. ространство, Z - локально замкнутая подсхема или аналитич. одпространство в - когерентный пучок -модулей, - когерентный пучок идеалов, задающий Z. Пусть

где -длина максимальной регулярной для последовательности элементов из или если Тогда равенство для i<n равносильно условию Пусть (где - максимальный идеал колец ) и пусть Если X - комплексное аналитич. пространство или алгебраич. многообразие, то все множества являются аналитическими или соответственно алгебраическими. Если при этом - когерентный пучок на X,a Z - соответственно аналитич. ространство или подмногообразие, то когерентность пучков для равносильно условию

для всякого целого k.

В терминах Л. к. определяются гиперфункции, имеющие важные приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными [5]. Пусть Q - открытое подмножество пространства к-рое естественным образом вложено в Тогда

Предпучок на определяет вялый пучок, называемый пучком гиперфункций.

Аналог Л. к. существует и в теории этальных когомологий [3].

Лит.:[1] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология, Геометрия т. 10, М., 1972, с. 47-112; [2] G r о t h e n d i e с k A., Local cohomology, В.- Hdlb.-N. Y., 1967; [3] его же, Cohomologie locale des faisceaux coherents et tMorernes de Lefschetz locaux et globaux, Amst.- P., [1968]; [4] S i u Y.- Т., Trautmann G., Gapsheaves and extension of coherent analytic subsheaves, B.- [a. o.], 1971; [5] III а п и р а П., Теория гиперфункций, пер. с франц., М., 1972; [6] В a n i с а С., S t a n a s i l a О., Metode algebrice in teoria globaia a spatiilor complexe, Buc., 1974. Д. А. Пономарев