ЛОКАЛЬНОЕ КОЛЬЦО

- коммутативное кольцо с единицей, имеющее единственный максимальный идеал. Если А - Л. к. с максимальным идеалом то факторкольцо является полем и наз. полем вычетов Л. к. А.

Примеры Л. к. Любое поле или кольцо нормирования является локальным. Локально и кольцо формальных степенных рядов над полем kили над любым Л. к. Напротив, кольцо многочленов при не локально. Пусть X - топологич. пространство (или дифференцируемое многообразие, или аналитич. ространство, или алгебраич. многообразие), а х - точка X. Пусть А - кольцо ростков в точке хнепрерывных функций (соответственно дифференцируемых, аналитических или регулярных функций); тогда А - Л. к., максимальный идеал к-рого состоит из ростков функций, обращающихся в 0 в точке х.

К Л. к. приводят нек-рые общие теоретико-кольцевые конструкции, важнейшей из к-рых является локализация. Пусть А - коммутативное кольцо, а - простой идеал А. Кольцо , к-рое состоит из дробей вида , где является локальным и наз. локализацией кольца Ав Максимальным идеалом кольца является идеал а поле вычетов отождествляется с полем частных целостного факторкольца Другие конструкции, приводящие к Л. к., - гензелизация или пополнение кольца относительно нек-рого максимального идеала. Любое факторкольцо Л. к. также локально.

Свойство кольца А(или А-модуля М, или А-алгебры В).наз. локальным свойством, если выполнение его для А(или М, или В).эквивалентно выполнению его для колец (соответственно модулей или алгебр ) для всех простых идеалов кольца А(см. Локальное свойство).

Степени mⁿ максимального идеала Л. к. Аопределяют базис окрестностей нуля так наз. топологии локального кольца (или m-адической топологии). Для нётерова Л. к. эта топология отделима (теорема К р у л л я), а любой его идеал является замкнутым.

Далее рассматриваются только нётеровы локальные кольца. Л. к. наз. полным локальным кольцом, если оно полно относительно m-адической топологии; в этом случае В полном Л. к. -адическая топология слабее любой другой отделимой топологии (теорема Шевалле). Любое полное Л. к. представляется как факторкольцо кольца формальных степенных рядов, где S - поле (в равнохарактеристическом случае) или полное кольцо дискретного нормирования (в случае разных характеристик). Эта теорема позволяет доказать, что полные Л. к. обладают рядом специфич. свойств, отсутствующих у произвольных нётеровых Л. к. (См. [5]), напр. полное Л. к. является превосходным кольцом.

Более тонкое, количественное исследование Л. к. Асвязано с применением понятия присоединенного градуированного кольца = Пусть Н _А (п) - размерность векторного пространства над полем вычетов А/m; как функция целого аргумента пона наз. функцией Гильберта - Самюэля (или характеристической ф у н к ц и е й) Л. к. А. При больших пэта функция совпадает с нек-рым многочленом от п, к-рый наз. многочленом Гильберт а- Самюэля Л. к. А (см. также Гильберта многочлен). Этот факт можно выразить в терминах ряда Пуанкаре: формальный ряд

является рациональной функцией вида

где - многочлен, a d(A).1 равно степени Целое число d(A).совпадает с размерностью (по Круллю) dim Акольца Аи является одним из важнейших инвариантов кольца. Кроме того, d(A).равно наименьшему числу элементов для к-рых факторкольцо артиново. Если эти элементы можно выбрать так, чтобы они порождали максимальный идеал то Л. к. Аназ. регулярным локальным кольцом. Регулярность Аэквивалентна тому, что Для d-мерного регулярного кольца А

а

Геометрически регулярность означает неособость соответствующей точки (аналитического или алгебраического) многообразия.

Помимо характеристич. функции Н _А и связанных с ней размерности и кратности у Л. к. имеются различные инварианты гомологич. природы. Главным из них является глубина prof А(см. Глубина модуля);условие prof A = dim Авыделяет среди Л. к. так наз. Коэна- Маколея кольца. Неизвестно (1982), для всякого ли полного Л. к. Асуществует модуль М сprof A= dim A. Другими гомологич. инвариантами являются т. н. ч и с л а Бетти b_i (А).Л. к. А, т. е. размерности k-пространств где k - поле вычетов А. Открыт вопрос о рациональности ряда Пуанкаре хотя для многих классов колец известен утвердительный ответ. Имеются также инварианты алгебро-геометрич. природы; при их определении используется разрешение особенности, соответствующей Л. к.

Аналогичная теория строится для полулокальных к о л е ц, т. е. колец, имеющих конечное число максимальных идеалов. Роль максимального идеала для них при этом играет Джекобсона радикал.

Лит.:[1]Кru 1 1 W., "J. reine und angew. Math.", 1938, Bd 179, S. 204-26; [2] С h e v a l l е у С., "Ann. Math.", 1943, v. 44, p. 690-708: [3] Gohen I. S., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1946, v. 59, p. 54-106; [4] Samuel P., Algebre locale, P., 1953; [5] N a g a t а М., Local rings, N. Y.- L., 1962; [6] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [7] С е р р Ж.-П., "Математика", 1963, т. 7, № 5, с. 3 - 93; [8] Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [9] Атья М.-Ф., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, пер. с англ., М., 1972. В. И. Данилов.