ЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

в узком смысле - оператор, действующий на функции, заданные на открытом множестве и принимающий значения в поле или по формуле

где - функции со значениями в том же поле, наз. коэффициентами А. Если коэффициенты принимают значения во множестве матриц размера над полем k, то Л. д. о. Аопределен на вектор-функциях u=(u₁, ..., u_n).и преобразует их вектор-функции v=(v₁, ..., v_t). В случае n=1 он наз. обыкновенным линейным дифференциальным оператором, ав случае n>1 - линейным дифференциальным оператором с частными п. <р оизводными.

Пусть X - дифференцируемое многообразие, Еи F - конечномерные векторные расслоения на X(все из класса ). Пусть - пучки ростков сечений этих расслоений соответствующей гладкости. Л. д. о. в широком смысле есть отображение пучков удовлетворяющее условию: всякая точка имеет координатную окрестность U, в пределах к-рой расслоения тривиальны, а отображение

где Г(U, Е).- пространство сечений над Uрасслоения Е, действует по формуле (1), в к-рой использованы локальные координаты х ₁, . .., х _п и тривиализации

Минимальное число т, пригодное для формулы (1) во всех точках наз. порядком Л. д. о. А. Напр., всякая ненулевая связность в расслоении Еесть нек-рый Л. д. о. . _ первого порядка. Другое, эквивалентное определение Л. д. о. таково: это - линейный оператор удовлетворяющий условию где supp и - носитель и.

Л. д. о. может быть задан на более широких функциональных пространствах. Напр., если на Xзадана положительная мера, а на расслоениях Еи F- нек-рое скалярное произведение, то определены пространства квадратично суммируемых сечений этих расслоений. Л. д. о., заданный локальными выражениями (1), определяет линейный неограниченный оператор При нек-рых слабых предположениях последний может быть замкнут как оператор в гильбертовых пространствах. Это замыкание также носит название Л. д. о. Подобным же образом может быть построен оператор, действующий в пространствах Соболева или в пространствах более общих шкал.

Л. д. о. класса может быть расширен до оператора в пространствах обобщенных сечений. Такое расширение может быть построено с помощью формально сопряженного оператора. Пусть Е'- расслоение, сопряженное с Е(т. е. - одномерное тривиальное расслоение), а W - расслоение нечетных дифференциальных форм на Xмаксимальной степени. Определено билинейное отображение

включающее интегрирование по X. Здесь Г ₀(. . .) - пространство сечений с компактными носителями. Формула

однозначно определяет нек-рый линейный оператор

Он порождается Л. д. о.

к-рый в пределах координатной окрестности Uимеет выражение

если расслоение W тривиализовано выбором сечения Л. д. о. ^tA наз. формально сопряженным по отношению к А.

В пространстве задается сходимость по следующему правилу: если объединение носителей сечений f_k принадлежит компакту, и в любой координатной окрестности над к-рой имеется тривиализация Е, вектор-функции f_k равномерно сходятся к f вместе со всеми частными производными по локальным координатам. Пространство всех линейных функционалов над непрерывных относительно указанной сходимости, наз. пространством обобщенных сечений Е и обозначается D' (Е). Оператор ^tA переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся и потому порождает сопряженный оператор Последний совпадает с Ана подпространстве Г (X, Е).и наз. продолжением данного Л. д. о. на пространство обобщенных сечений. Рассматриваются также и другие расширения Л. д. о.: на пространства обобщенных сечений бесконечного порядка, на различные пространства гиперфункций и т. д.

Под Л. д. о. бесконечного порядка понимается оператор, действующий в том или ином пространстве аналитич. функций (сечений), заданный формулой (1), в к-рой суммирование производится по бесконечному множеству индексов i_l, ..., i_n.

Следующее свойство характеризует Л. д. о. Последовательность объявляется сходящейся к сечению f, если f_k равномерно стремится к fвместе со всеми частными производными в любой координатной окрестности, имеющей компактное замыкание. Линейный оператор переводящий сходящиеся последовательности в сходящееся, является Л. д. о. порядка не выше ттогда и только тогда, когда для любых функция

является полиномом по параметру степени не выше т. Если это условие заменить предположением, что (2) представляется асимптотич. степенным рядом, то получается определение линейного псевдодифференциального оператора.

Пусть многообразие X, а также расслоения Еи Fснабжены G-структурой, где G - нек-рая группа. Тогда определено действие этой группы на любой Л. д. о. по формуле

Л. д. о. Аназ. инвариантным относительно G, если g*(A) = A для всех

Расслоение струй (джетов) есть объект, двойственный пространству Л. д. о. Пусть снова Е - векторное расслоение на многообразии Xкласса Расслоение m-струй сечений Еесть векторное расслоение J_m (Е).на X, слой к-рого над точкой хравен - слой пучка - подпространство этого слоя, состоящее из ростков сечений, у к-рых в точке хобращаются в нуль все дифференциалы до порядка твключительно. Л. д. о. действующий по правилу: значение сечения d_m (и).в точке хравно образу сечения ив фак-торпространстве наз. универсальным. Пусть, далее, F - расслоение на X, а - гомоморфизм расслоений, т. е. Л. д. о. нулевого порядка. Композиция

есть Л. д. о. порядка не выше т. Обратно, всякий Л. д. о. порядка не выше тможет быть представлен единственным способом в виде композиции (3).

Символ (главный символ) Л. д. о. есть семейство линейных отображений зависящее от точки кокасательного расслоения Т*(X). Они действуют по формуле где а - гомоморфизм, участвующий в факторизации (3), - элемент J _т (Е) _х, равный образу f^me, где f - росток функции класса такой, что f(x)=0, Если Аимеет вид (1), то
где - координаты слоя расслоения таким образом, символ является однородной по формой степени т. В соответствии с этой конструкцией символа вводится понятие характеристики. Характеристикой Л. д. о. Аназ. точка в к-рой символ s_A имеет ненулевое ядро. Принятая в теории Л. д. о. классификация относится главным образом к Л. д. о., действующим в расслоениях одинаковой размерности, фактически к операторам вида (1), где коэффициенты суть квадратные матрицы. Л. д. о. наз. эллиптическим, если он не имеет действительных характеристик

Этот класс характеризуется наилучшими локальными свойствами решений уравнения Au=w, а также корректностью краевых задач в ограниченных областях. Класс гиперболических Л. д. о. также выделяется условием, наложенным лишь на характеристики. Свойство гиперболичности тесно связано с корректностью задачи Коши с неаналитич. начальными данными. Класс Л. д. о. главного типа задается условием, наложенным лишь на символ. Для таких операторов развита теория локальной разрешимости и гладкости решений. Класс параболических Л. д. о. выделяется условием, касающимся не только символа, но и нек-рых младших членов. Для параболич. Л. д. о. характерна смешанная задача и задача Коши с условиями на бесконечности. Класс гипоэллиптических Л. д. о. задается следующим неформальным условием: всякое априори обобщенное решение уравнения Au=w с правой частью из само принадлежит Известен ряд формальных условий на выражение (1), обеспечивающих гипоэллиптичность оператора.

Помимо указанных основных типов Л. д. о., иногда говорят о Л. д. о. смешанного или переменного типа, о Л. д. о. составного типа и др. Рассматриваются также задачи в неограниченных областях с условиями на бесконечности, краевые задачи со свободной границей, задачи спектральной теории, задачи оптимального управления и др.

Комплекс Л. д. о. есть последовательность Л. д. о.

в к-рой для всех k. Когомологпя комплекса Л. д. о. Е* есть когомология комплекса векторных пространств Г( Х, Е*). Пусть H^k - когомология этого комплекса в k-м члене. Сумма наз. индексом данного комплекса Л. д. о. Так, индекс эллиптич. комплекса Л. д. о. (т. е. такого, что лишь конечное число Е _k отлично от нулевого, и комплекс, образованный символами Л. д. о. A_k, точен во всех точках ) конечен в случае компактного X, и отыскание формул, выражающих индекс такого комплекса через его символ, является содержанием ряда исследований, объединяющих теорию Л. д. о. с алгебраич. геометрией и алгебраич. топологией (см. Индекса формулы).

Описанное определение символа не является вполне удовлетворительным для Л. д. о., действующих в расслоениях размерности, большей 1. Одной из причин этого является тот факт, что равенство может нарушаться. Следующая усложненная конструкция, заменяющая понятие символа, является более адекватной. Для всякого расслоения Ена многообразии Xкласса рассматривается пучок D(Е).ростков Л. д. о. где I - одномерное тривиальное расслоение. По определению, значение этого пучка на открытом множестве есть совокупность всех Л. д. о. Пусть D_k(E) - его подпучок, образованный операторами порядка не выше k. В имеется структура пучка (некоммутативных) алгебр, а в D(Е) - структура левого модуля над D, причем действие равно композиции аb. Данный Л. д. о. определяет морфизм левых D-модулей по закону композиции Пусть М(А) - коядро этого морфизма. Имеется точная последовательность левых D-модулей

О(Х)-подмодули образуют возрастающую фильтрацию в М(А). Градуированный О(Х)-модуль

наз. символическим модулем Л. д. о. А. Поскольку при любых kи l действие D_k на М(А).переводит M_l в M_l+k, то в gr M(А).имеется структура градуированного модуля над градуированной алгеброй Аннулятор этого модуля есть однородный идеал в gr D. Характеристическое многообразие оператора Аесть множество корней этого идеала. Так как алгебра gr Dизоморфна симметрич. алгебре касательного расслоения Т(Х), то характеристич. многообразие канонически вкладывается в Т*(X), причем его пересечение с каждым слоем есть алгебраич. конус.

Если многообразие X, а также данные расслоения имеют вещественно или комплексно аналитич. структуру, то характеристич. многообразие совпадает с множеством корней идеала gr(ann М (А)). В этом случае оно является замкнутым аналитич. одмножеством в Т*(X), причем если оно не пусто, то его размерность не меньше dim X. В случае, когда эта размерность равна dim X, Л. д. о. Аназ. максимально переопределенным, или голономным. Формальная теория общих Л. д. о. имеет дело с понятиями формальной интегрируемости и резольвенты. Свойство формальной интегрируемости, формулируемое в двойственных терминах струй, эквивалентно условию: О(Х)-модуль gr M(А).локально свободен. Под резольвентой Л. д. о. Л понимается последовательность, продолжающая (4)

в к-рой все суть Л. д. о. В частности, А ₁ наз. оператором совместности для А. Формальная интегрируемость обеспечивает локальное существование резольвенты.

В литературе используются термины "переопределенная" и "недоопределенная" система дифференциальных уравнений, однако удовлетворительное общее определение отсутствует. Нек-рым приближением к такому определению может служить следующее: существует ненулевой Л. д. о. Втакой, что (п е р е о п р е д е л е н н о с т ь), АВ=0 (недоопределенность). Напр., Л. д. о. d, равный ограничению оператора внешнего дифференцирования на формах степени kна многообразии Xразмерности п, является недоопределенным при k>0, переопределенным при k<n и голономным при k=0.

Основные задачи, изучаемые для общих Л. д. о.: разрешимость уравнения с правой частью Au=w при выполнении условия совместности A₁u=0, возможность продолжения решений уравнения Аи=0 в большую область (эффект, связанный с переопределенностью), представление общего решения через решения специального вида. Последняя задача может быть сформулирована более конкретно для инвариантных операторов, напр. для Л. д. о. в с постоянными или периодич. коэффициентами: записать представление группы Gв пространстве решений в виде интеграла (в том или ином смысле) по всем неразложимым подпредставлениям. Для определения операторов с постоянными коэффициентами такое представление задается интегралом по экспонентам (экспоненциальное представление), для операторов с периодич. коэффициентами - интегралом по обобщенным решениям Флоке.

Определяются Л. д. о. и на произвольных алгебраич. структурах. Пусть R - коммутативное кольцо, Еи Fсуть R-модули. Отображение множеств наз. Л. д. о. порядка не выше т, если оно аддитивно и для любого элемента отображение аА-Аа является Л. д. о. порядка не выше т -1. При этом под Л. д. о. порядка не выше -1 понимается лишь нулевое отображение. В частности, Л. д. о. нулевого порядка есть гомоморфизм Я-модулей и обратно. Всякое дифференцирование является Л. д. о. 1-го порядка (или равно нулю). Если Rесть алгебра над нек-рым полем k, то под Л. д. о. над Л понимается Л. д. о. над кольцом Л, к-рый является k-линейным отображением. Такой Л. д. о. обладает рядом формальных свойств обычных Л. д. о. Если Rесть алгебра всех формальных степенных рядов над kили алгебра сходящихся степенных рядов над k а Еи F - свободные Я-модули конечного типа, то всякий Л. д. о. порядка не выше тимеет однозначную запись (1).

Пусть (X., О) - кольцованное пространство, Е п F суть О-модули. Под Л. д, о. понимается всякий морфизм пучков, к-рый в слоях над каждой точкой действует как Л. д. о. над кольцом (алгеброй) Ох. Л. д. о., действующие в модулях или пучках модулей, используются в ряде вопросов алгебраич. геометрии.

Лит.: [1] Р е е t r e J., "Math. Scand.", 1960, v. 8, p. 116 - 120; [2] Хёрмандер Л., в кн.: Псевдодифференциальные операторы, пер. с англ., М., 1967, с. 63-87, 166 -296, 297 - 367; [3] Б е р н ш т е й н И. Н., "Функц. анализ и его прилож.", 1972, т. 6, в. 4, с. 26-40; [4] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [5] Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [6] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965; [7] II а л а м о д о в В. П., Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, М., 1967; [8] X а р т м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [9] Пале Р., Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе, пер. с англ., М., 1970; [10] Паламодов В. П., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1968, М., 1969, с. 5-37; [11] Спенсер Д., "Математика". 1970, т. 14, № 2, с. 66-90; М 3, с. 99-126; [12] Sato M., Kawai Т., Kashiwara М., Microfunctions and psendodifferential equations, Kyoto, 1972. В. П. Паламодов.