ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО,
- ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО,
цепь,- частично упорядоченное множество, в к-ром для любых двух элементов аи bимеет место 
или 
Подмножество Л. у. м. само является Л. у. м. Всякий максимальный (минимальный) элемент Л. у. м. оказывается наибольшим (наименьшим). Важнейший частный случай Л. у. м. - вполне упорядоченные множества. Среди подмножеств частично упорядоченного множества, являющихся Л. у. м., особенно важную роль играет композиционный ряд. Сечением Л. <у. <м. Рназ. разбиение его на два подмножества Аи Втак,
что
- пусто,
где
Классы Аи Вназ. нижним и верхним классами сечения. Различаются следующие типы сечений: скачок - в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем - наименьший; д е д е к и н д о в о сечение - в нижнем (верхнем) классе имеется наибольший (наименьший) элемент, но в верхнем (нижнем) классе нет наименьшего (наибольшего); щель - в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем - наименьшего. Л. у. м. наз. непрерывным, если все его сечения дедекиндовы. Подмножество DЛ. у. м. Рназ. плотным, если каждый не одноэлементный интервал множества Рсодержит элементы, принадлежащие D. Л. у. м. действительных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное Л. у. м. в к-ром нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счетное плотное подмножество. Всякое счетное Л. у. м. изоморфно некоторому подмножеству Л. у. м. всех двоичных дробей отрезка [0, 1]. Решетка Lизоморфна подмножеству Л. у. м. целых чисел тогда и только тогда, когда каждая ее подрешетка является ретрактом.
Лит.:[1] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; [2] его же, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [3] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965.
Л. А. Скорняков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО," в других словарях:
Линейно упорядоченное множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Упорядоченное множество. Линейно упорядоченное множество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов и имеет место или . Важнейший частный случай линейно… … Википедия
Упорядоченное множество — Упорядоченное множество множество с заданным отношением порядка. Частично упорядоченное множество Линейно упорядоченное множество Вполне упорядоченное множество … Википедия
УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО — множество, на к ром задано отношение порядка. См. также Линейно упорядоченное множество, Частично упорядоченное множество … Математическая энциклопедия
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО — множество Рс заданным на нем бинарньш отношением , удовлетворяющим условиям: 4) в любом непустом подмножестве существует такой элемент а, что для всех ; таким образом В. у. м. линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее условию минимальности … Математическая энциклопедия
Частично упорядоченное множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Упорядоченное множество. Подмножества {x, y, z}, упо … Википедия
Вполне упорядоченное множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Упорядоченное множество. Вполне упорядоченное множество линейно упорядоченное множество M такое, что в любом его непустом подмножестве есть минимальный элемент, другими словами это… … Википедия
УПОРЯДОЧЕННОЕ КОЛЬЦО — частично упорядоченное кольцо, кольцо R(не обязательно ассоциативное), являющееся частично упорядоченной группой по сложению, в к ром для любых a, b, неравенства и влекут за собой неравенства и Всякое кольцо является У. к. с тривиальным порядком … Математическая энциклопедия
НЕПРЕРЫВНОЕ МНОЖЕСТВО — (линейно) упорядоченное множество X, все собственные сечония к рого являются дедекиндовыми сечениями, т. е. при любом разбиении Xна два непустых подмножества X и X" таком, что каждый элемент из X предшествует каждому элементу из X",… … Математическая энциклопедия
Непрерывное множество — ― линейно упорядоченное множество , все собственные сечения которого являются дедекиндовыми сечениями, то есть при любом разбиении на два непустых подмножества и таком, что каждый элемент из предшествует каждому элементу из , либо в … Википедия
ПОРЯДКОВЫЙ ТИП — линейно упорядоченного множества А свойство множества А, к рое присуще любому линейно упорядоченному множеству В, подобному А. При этом два множества Аи В, линейно упорядоченные соотношениями R и S, наз. подобными, если существует функция f,… … Математическая энциклопедия
