АРИФМЕТИКА ФОРМАЛЬНАЯ

арифметическое исчисление,- логико-математич. исчисление, формализующее элементарную теорию чисел. Язык наиболее употребительного варианта А. ф. содержит константу 0, числовые переменные, символ равенства, функциональные символы (прибавление 1) и логич. связки. Термы строятся из константы 0 п переменных с помощью функциональных символов; в частности, натуральные числа изображаются термами вида Атомарные формулы - это равенства термов; остальные формулы строятся из атомарных с помощью логич. связок Формулы в языке А. ф. наз. арифметическими формулами. Постулатами А. ф. являются постулаты предикатов исчисления (классического пли интуиционистского в зависимости от того, какая А. ф. рассматривается), .аксиомы Пеано

я схема аксиом индукции

где А - произвольная формула, наз. индукционной формулой.

Средства А. ф. оказываются достаточными для вывода теорем, устанавливаемых в стандартных курсах элементарной теории чисел. В настоящее время (1970-е гг.), по-видимому, неизвестно ни одной содержательной теоретико-числовой теоремы, доказанной без привлечения средств анализа, к-рая не была бы выводима в А. ф. Запись и доказательство таких теорем в А. ф. требует выявления ее выразительных возможностей. Особенно существенна выразимость в А. ф. многих теоретико-числовых функций. В частности, в А. ф. можно записывать суждения о примитивно (и даже частично) рекурсивных функциях. При этой оказываются выводимыми формулы, выражающие важные свойства частично рекурсивных функций, в частности их определяющие равенства. Так, равенство выражается формулой ,

где - формулы, изображающие графики функций , соответственно. В А. ф. можно формулировать суждения о конечных множествах. Более того, классич. А. ф. эквивалентна аксиоматической теории множеств Цермело - Френкеля без аксиомы бесконечности: в каждой из этих систем может быть построена модель другой.

Дедуктивная сила системы А. ф. характеризуется ординалом (наименьшее решение уравнения ): в А. ф. выводима схема трансфинитной индук ции до любого ординала , но не выводима схема индукции до . Класс доказуемо рекурсивных функций системы А. ф. (т. е. частично рекурсивных функций, общерекурсивность к-рых может быть установлена средствами А. ф.) совпадает с классом ординально рекурсивных функций с ординалами . Это позволяет погружать в А. ф. нек-рые ее расширения, напр. А. ф. с символами для всех примитивно рекурсивных функций и соответствующими дополнительными постулатами. А. ф. удовлетворяет условиям обеих Гёделя теорем о неполноте. В частности, имеются такие полиномы от нескольких переменных, что формула невыводима, хотя и выражает истинное утверждение, а именно непротиворечивость системы А. ф.

При исследовании структуры А. ф. (в частности, вопросов непротиворечивости) используется ее формулировка без кванторов, но с гильбертовским e-символом. При построении формул этой системы не допускается употребление кванторов, но разрешается использование термов вида (нек-рое х, удовлетворяющее условию А, если такие хсуществуют, и 0 в противном случае). Постулаты -системы - это постулаты исчисления высказываний, правила для равенства, правило подстановки вместо свободной числовой переменной, аксиомы для функций (вычитание 1 из положительных чисел) и следующие -аксиомы:

Кванторы вводятся как сокращения:

аксиома индукции оказывается выводимой.

Формулы А. ф., содержащие свободные переменные, задают теоретико-числовые предикаты. Формулы, не содержащие свободных переменных (замкнутые формулы), выражают суждения, fe-местный предикат от натуральных чисел наз. арифметически м, если найдется такая арифметич. формула что для любых натуральных чисел имеет место

Это определяет классификацию арифметич. предикатов по типу префикса в предваренной форме соответствующей формулы. Класс (класс ) состоит из предикатов , изобразимых формулой вида

где - примитивно рекурсивная функция, есть (соответственно .) и - чередующиеся кванторы (т. е. есть , где есть , а есть ). Каждый из этих классов содержит универсальный предикат, т. е. такой предикат , что для всякого одноместного предиката Риз того же класса имеется число , для к-рого верно ). Многоместные предикаты сводятся к одноместным с помощью функций, нумерующих системы натуральных чисел. При каждом справедливо неравенство и класс с меньшим индексом есть собственная часть любого класса с большим индексом. Классификация предикатов порождает классификацию арифметич. функций на основе классификации соответствующих графиков. Не все теоретико-числовые предикаты арифметические: примером неарифметич. предиката является такой предикат , что для любой замкнутой арифметич. формулы Аимеет место - номер формулы Ав нек-рой фиксированной нумерации, удовлетворяющей естественным условиям.

Предикат Тиграет существенную роль в исследованиях структуры А. ф., в частности вопроса о независимости ее аксиом. Присоединение к А. ф. символа с аксиомами типа , выражающими его перестановочность с логич. связками, позволяет доказать непротиворечивость А. ф. Та же конструкция (но уже внутри А. ф.) проходит для подсистемы системы А. ф., в к-рой схема индукции ограничена условием: индукционная формула имеет сложность , т. е. принадлежит Роль Тздесь успешно исполняет, напр., универсальный предикат для , и соответствующее доказательство проводится в системе В силу второй теоремы Гёделя о неполноте отсюда следует, что сильнее , так что А. ф. не совпадает ни с одной из систем и схему индукции нельзя заменить никаким конечным множеством аксиом. А. ф. оказывается, полной относительно формул из класса : замкнутая формула из этого класса выводима в А. ф. тогда и только тогда, когда она истинна. Так как класс содержит алгорифмически неразрешимый предикат, отсюда следует, что проблема выводимости в А. ф. алгорифмически неразрешима.

При задании А. ф. в виде Генцена формальной системы обычного типа сечение оказывается неустранимым. Устранение сечения становится возможным, если заменить схему индукции правилом бесконечной индукции.( -правило):

На этом пути было получено одно из первых доказательств непротиворечивости А. ф. При фактическом построении системы с -правилом основным оказывается предикат "число еесть номер общерекурсивной функции, описывающей вывод длины с -правилом ( -вывод)". Этот предикат принадлежит классу ,и получающаяся система оказывается не формальной, а лишь полуформальной. Каждому выводу формулы Ав А. ф. удается сопоставить такое число е, что суждение "е есть -вывод формулы Абез сечения" истинно (и даже доказуемо в А. ф.). Так как -вывод без сечения замкнутой бескванторной формулы не содержит кванторов, отсюда следует непротиворечивость А. ф. Применение второй теоремы Гёделя о неполноте позволяет получить отсюда, что теорема об устранении сечения из любого вывода в А. ф. не может быть доказана средствами А. ф.; тем не менее это может быть доказано в А. ф. при любом фиксированном для любого вывода с индукциями сложности . Переход к -выводам позволяет устанавливать многие метаматематич. теоремы о системе А. ф., в частности полноту относительно формул из и ординальную характеристику доказуемо рекурсивных функций.

Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [2] Нi1bеrt D., Веrnауs P., Grundlagen der Mathematik, 2 Aufl., Bd 1-2, В., 1968-70; [3] Новиков П. С., Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973; [4] Kreisel G., "J. Symbolic Logic", 1968, v. 33, №3, p. 321-88; [5] Гёдель К., в сб.: Математическая теория логического вывода, М., 1967, с. 299-310. Г. Е. Минц.