ЛАМЕ УРАВНЕНИЕ

- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка в комплексной области

где - Вейерштрасса эллиптическая функция, А и В - константы. Это уравнение было впервые изучено Г. Ламе [1]; оно возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в эллиптич. координатах. Уравнение (1) наз. формой Вейерштрасса для Л. у. Существует такая замена независимой переменной в уравнении (1), в результате к-рой получается форма Якоб и для Л. у.:

Имеются также многочисленные алгебраич. формы Л. у., переход к к-рым осуществляется различными преобразованиями независимой переменной уравнения (1), напр.:

Для практич. приложений форма Якоби является наиболее подходящей. Особенно важен случай, когда в уравнении (1) (или (2)) В=n(n+1), где n - натуральное число. В этом случае решения уравнения (1) мероморфны во всей плоскости и их свойства довольно хорошо изучены. Среди решений уравнения (2) при В=n(n+1) первостепенное значение имеют Ламе функции.

Лит.:[1] Lame G., "J. math. pures et appl.", 1837, t. 2, p. 147-88; [2] С т р е т т М. Д. О., Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике, пер. с нем., Хар.- К., 1935; [3] Уиттекер Э.-Т., Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [4] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламели Матье, пер. с англ., М., 1967; [5] Г о б с о н Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952. Н. Х. Розов.