АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РАЗНОСТНОЙ

приближение дифференциального уравнения и краевых условий системой конечных (обычно алгебраических) уравнений относительно значений искомой функции на нек-рой сетке, к-рое уточняется при стремлении параметра разностной задачи (шага сетки) к нулю.

Пусть требуется вычислить функцию и, принадлежащую линейному нормированному пространству функций, определенных в нек-рой области с границей Г, и являющуюся решением дифференциальной краевой задачи где -дифференциальное уравнение, -совокупность граничных условий. Пусть - сетка (см. Аппроксимация дифференциального оператора разностным).и - линейное нормированное пространство функции , определенных на этой сетке. Норма в вводится так, чтобы для любой функции выполнялось равенство

где - таблица значений функции vв точках сетки . Задачу вычисления решения изаменяют нек-рой задачей приближенного вычисления таблицы значений решения и в точках сетки . Здесь - нек-рая совокупность конечных (недифферен-циальных) уравнений относительно значений сеточной функции

Пусть - произвольная функция из и , - линейное нормированное пространство, к-рому принадлежат при любом Говорят, что задача является разностной аппроксимацией порядка рдифференциальной краевой задачи на решении последней, если

Фактическое построение системы разбивают на построение двух ее подсистем и В качестве используют к.-л. разностную аппроксимацию дифференциального уравнения (см. А п-проксимация дифференциального уравнения разностным). Дополнительные уравнения строят с использованием граничных условий

А. д. к. з. р. в смысле приведенного определения ни при каком выборе норм в и еще не обеспечивают сходимости (см. [2]) решения u_h разностной задачи к точному решению , т. е. равенства

Дополнительным условием, обеспечивающим сходимость, является свойство устойчивости (см. [3], [5] - [8]), к-рым должна обладать разностная задача . Задача наз. устойчивой, если существуют числа и такие, что уравнение имеет единственное решение при любом причем это решение удовлетворяет неравенству

где С- нек-рая постоянная, не зависящая от hи возмущения правой части , а - решение невозмущенной задачи . Если решение и дифференциальной задачи существует, а разностная задача аппроксимирует дифференциальную на решении ис порядком ри устойчива, то имеет место сходимость с тем же порядком, то есть

Напр., задача

где - заданная функция, имеющая ограниченную производную 2-го порядка, при естественном определении норм аппроксимируется разностной задачей

где - значение функции в точке сетки, , Если за норму фД принять верхнюю грань модулей правых частей уравнений, составляющих систему то аппроксимация задачи (1) задачей (2) на решении иимеет первый порядок. При сходимости нет ни при какой норме. При и норме

имеет место устойчивость и, следовательно, сходимость:

(см. [2], [3]).

Замена дифференциальных задач разностными является одним из наиболее универсальных средств приближенного вычисления решений дифференциальных краевых задач на ЭВМ (см. [7]).

Замену дифференциальных задач их разностными аналогами, начиная с работ [1], [2], [4], иногда удается использовать для самого доказательства существования решения дифференциальной задачи по следующей схеме. Устанавливается компактность зависящего от семейства решений разностного аналога дифференциальной краевой задачи и доказывается, что пределом сходящейся при подпоследовательности является решение идифференциальной краевой задачи. Если известно, что оно единственно, то не только подпоследовательность, но и все семейство и _h сходится к решению

Лит.:[1] Люстерник Л. А., "Успехи матем. наук", 1940, в. 8, с. 115-24; [2] Курант Р., Фридрихс К., Леви Г., "Успехи матем. наук", 1940, в. 8, с. 125-60; [3] Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы. Введение в теорию, М., 1973; [4] Петровский И. Г., "Успехи матем. наук", 1940, в. 8, с. 161-70; [5] Рябенький В. С., "Докл. АН СССР", 1952, т. 86, № 6, с. 1071-3; [6] Рябенький В. С., Филиппов А. Ф., Об устойчивости разностных уравнений, М., 1956; [7] Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; [8] Филиппов А. Ф., "Докл. АН СССР", 1955, т. 100, № 6, с. 1045 - 8. В. С. Рябенький.