КАНТОРОВА КРИВАЯ

- метризуемый одномерный континуум. Первоначально К. к. наз. плоский нигде не плотный континуум, и это была первая (хотя и не внутренняя) характеристика одномерных замкнутых связных подмножеств плоскости, рассмотренная Г. Кантором (G. Cantor). К. к. содержит нигде не плотный подконтинуум тогда и только тогда, когда замыкание множества всех точек ветвления одномерно. В то же время, если К. к. не содержит нигде неплотного подконтинуума, то' все ее точки имеют конечный индекс ветвления. К. к. без точек ветвления является или простой дугой, или простой замкнутой линией. Множество концевых точек К. к., т. е. множество точек индекса 1, нульмерно, но может быть всюду плотным. Если все точки К. к. имеют одинаковый конечный индекс ветвления, то эта К. к. является простой замкнутой линией. Построена универсальная К. к. (кривая Менгера), то есть К. к., к-рая содержит топологич. образ всякой К. к.

Лит.:[1] Урысон П. С, Тр. по топологии и другим областям математики, т. 2, М.- Л., 1951; [2] Menger К., Kurventheorie, Lpz. - В., 1932.

В. В. Федорчук.