АБЕЛЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

голоморфный или мероморфный дифференциал на компактной, или замкнутой, римановой поверхности S(см. Дифференциал на римановой поверхности).

Пусть g - род поверхности S; а₁b₁ а ₂b₂...a_gb_g циклы канонич. базиса гомологии S. В зависимости от характера особенностей различают А. д. трех родов: I, II и III, причем имеют место строгие включения: А. <д. I рода- это голоморфные всюду на Sдифференциалы 1-го порядка, к-рые в окрестности U ' каждой точки имеют вид где - локальная униформизирующая переменная в U,- голоморфная, или регулярная, аналитич. функция от z в U. Сложение А. д. и умножение на голоморфную функцию определяются естественными правилами: если

то

А. д. I рода образуют векторное пространство размерности g. После введения скалярного произведения

где - внешнее произведениеw на звездно сопряженный дифференциал пространство превращается в гильбертово пространство.

Пусть суть А- и B-периоды А. д. 1 рода , т. е. интегралы

Тогда имеет место соотношение:

Если А'₁ ,B'₁ ,А'₂ ,B'₂ ,...,А'_g ,B'_g , - периоды другого А. д. I рода p, то

Соотношения (1) и (2) наз. билинейными соотношениями Римана для А. д. I рода. Канонич. базис А. д. I рода, т. е. канонич. базис j₁ пространства выбирается таким образом, что

где и при При этом матрица (B_{i j}) i, j=1,2,...,g_n B-периодов симметрическая, а матрица мнимых частей положительно определенная. А. д. I рода, у к-рого все A-периоды или все B-периоды равны нулю, тождественно равен нулю. Если все периоды А. д. I рода действительны, то

А. д. II и III рода относятся, вообще говоря, к мероморфным дифференциалам, т. е. к таким аналитич. дифференциалам, к-рые имеют на Sне более чем конечное множество особенностей типа полюсов с локальным представлением

где - регулярная функция, п - порядок полюса (если ), - вычет в данном полюсе. При полюс наз. простым. А. д. II рода - это мероморфные дифференциалы, у к-рых все вычеты равны нулю, т. е. мероморфные дифференциалы с локальным представлением

А. д. III рода - это А. д. произвольного вида.

Если - произвольный А. д. с A-периодами А ₁ , А ₂ ,.. ., A_g, то А. д. имеет нулевые А-периоды и наз. нормированным А. д. В частности, если - любые различные точки S, то можно построить нормированный А. д. с особенностями в к-рый наз. нормальным А. д. III рода. Пусть - произвольный А. д. с вычетами в точках соответственно, при этом всегда Если Р ₀ - произвольная точка на Sтакая, что можно представить в виде линейной комбинации нормированного А. д. II рода конечного числа нормальных А. д. III рода и базисных А. д. I рода

Пусть - А. д. III рода, имеющий только простые полюсы с вычетами в точках - произвольный А. д.I рода;

причем циклы не проходят через полюсы Пусть точка не лежит на циклах есть путь от P₀ к P_j. Тогда имеем билинейные соотношения для А. д. I и III рода:

Между А. д. I и II рода также имеются билинейные соотношения аналогичного вида.

Произвольный А. д. III рода, кроме А- и 5-перио-дов наз. циклическими периодами, имеет еще полярные периоды вида вдоль циклов, гомологичных нулю, но охватывающих полюсы Таким образом, для произвольного цикла имеем:

где - целые числа.

Важные свойства А. д. описываются в терминах дивизоров. Пусть - дивизор А. д. т. е. выражение вида где - все нули и полюсы - их кратности, или порядки. Степень дивизора для А. д. зависит только от рода S, а именно всегда Пусть - нек-рый произвольно заданный дивизор. Обозначим через комплексное векторное пространство А. д. дивизоры к-рых кратны а; - векторное пространство мероморфных функций f на S, дивизоры к-рых кратны Тогда размерность . Другая важная информация о размерности этих пространств содержится в теореме Римана- Роха: для любого дивизора имеем равенство:

Отсюда следует, напр., что при т. е. на поверхности тора, мероморфная функция не может иметь единственный простой полюс.

Пусть S - произвольная компактная риманова поверхность, на к-рой z и w - мероморфные функции, удовлетворяющие неприводимому алгебраич. уравнению Произвольный А. д. на S можно выразить тогда в виде где - нек-рая рациональная функция от и , и обратно: выражение есть А. д. Таким образом, произвольный абелев интеграл

является интегралом от нек-рого А. д. на компактной римановой поверхности S.

См. также Алгебраическая функция.

Лит.:[1]Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [2] Неванлинна Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [3] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948.

Е. Д. Соломенцев.