АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АБСТРАКТНАЯ это:

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АБСТРАКТНАЯ

аналитическое отображение банаховых пространств,- функция действующая из нек-рой области Dбанахова пространства Xв банахово пространство Y и дифференцируемая по Фреше всюду в D, т. е. такая, что для каждой точки существует ограниченный линейный оператор из , для к-рого выполняется соотношение:


где обозначает норму в ; наз. дифференциалом Фреше функции f в точке а.

Другой подход к понятию А. ф. а. возникает из дифференцируемости по Гато. Функция f(x).из Dв Yназ. слабо аналитической в D, илп дифференцируемой по Гато в D, если для каждого линейного непрерывного функционала у' над пространством Yи каждого элемента комплексная функция является голоморфной функцией комплексного переменного в круге где Всякая А. ф. а. в области Dнепрерывна и слабо аналитична в D. Обратное также верно, причем условие непрерывности можно заменить локальной ограниченностью или непрерывностью по Бэру.

Термин "А. ф. а." иногда используется в более узком смысле, когда под ним понимается функция комплексного переменного со значениями в банаховом или даже линейном локально выпуклом топологич.

пространстве Y. В этом случае всякая слабо аналитич. функция в области Dплоскости комплексного переменного является А. ф. а. Можно также сказать, что функция будет А. ф. а. в области тогда и только тогда, когда непрерывна в и для любого простого замкнутого спрямляемого контура интеграл обращается в нуль. Для А. ф. а. комплексного переменного z справедлива интегральная формула Кошп (см. Коши интеграл). Пусть - слабо аналитич. функция в области Dбанахова пространства X. Тогда , как функция комплексного переменного , имеет производные всех порядков в области причем эти производные суть А. ф. а. из D в Y. Если множество принадлежит D, то


где ряд сходится по норме и


Функция у=Р (х).из Xв Yназ. полиномом относительно переменного хстепени не выше т, если для всех и для всех комплексных


где функции не зависят от . Степень точно равна т, если Степенным рядом наз. ряд вида - однородные полиномы степени птакие, что = для всех комплексных . Всякий слабо сходящийся степенной ряд в области Dсходится и по норме к нек-рой слабо аналитической функции , причем . Функция является А. ф. а. в Dтогда и только тогда, когда в окрестности каждой точки она разлагается в степенной ряд где все непрерывны в X.

На А. ф. а. переносятся с соответственными изменениями многие основные результаты классич. теории аналитич. функций такие, как максимума модуля принцип, теоремы единственности, Витали теорема, Лиувил. <ля теорема и др. Множество всех А. ф. а. в области Dобразует линейное пространство.

Понятие А. ф. а. обобщается и на более широкие классы пространств Xи Y, напр, на локально выпуклые топологич. пространства, банаховы пространства над произвольным полным нормированным полем и т. <д.

Лит.: [1] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; [2] Эдвардс Р.-Э., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969; [3] Шварц Л., Анализ, пер. с англ., Т. 2, М., 1972. А. А. Данилееич, Е. Д. Коломенцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АБСТРАКТНАЯ" в других словарях:

  • ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена обобщенным рядом Фурье. Существуют различные способы определения классов П. п. ф., основанные на понятиях замыкания, почти периода, сдвига. Каждый из классов П. п. ф. получается в результате замыкания в том… …   Математическая энциклопедия

  • ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная функция заданная в области Dевклидова пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные 1 го и 2 го порядков и являющаяся решением Лапласа уравнения где декартовы прямоугольные координаты точки х. Иногда это определение… …   Математическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… …   Энциклопедия Кольера

  • Комплексный анализ — Комплексный анализ[1], теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно ТФКП)  раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия …   Википедия

  • П:М — Начинающим · Сообщество · Порталы · Награды · Проекты · Запросы · Оценивание География · История · Общество · Персоналии · Религия · Спорт · Техника · Наука · Искусство · Философия …   Википедия

  • Портал:Математика — Начинающим · Сообщество · Порталы · Награды · Проекты · Запросы · Оценивание География · История · Общество · Персоналии · Религия · Спорт · Техника · Наука · Искусство · Философия …   Википедия

  • РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ — а н а л и т и ч е с к ой ф у н к ц и и w=f(z) к о м п л е к с н о г о п е р ем е н н о г о z поверхность R такая, что данная полная аналитическая функция w=f(z), вообще говоря многозначная, может рассматриваться как однозначная аналитич. ция… …   Математическая энциклопедия

  • Функциональный анализ (математ.) — Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов… …   Большая советская энциклопедия

  • Функциональный анализ — I Функциональный анализ         часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… …   Большая советская энциклопедия

  • История математики — История науки …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»