ИНВАРИАНТНОЕ МНОЖЕСТВО это:

ИНВАРИАНТНОЕ МНОЖЕСТВО

фазового пространства Rдинамической системы f(p,t)- множество М, заполненное целыми траекториями, т. е. множество, удовлетворяющее условию

где f(М, t)- образ множества Мпри преобразовании группы f(p, t), соответствующем данному t.

Как множество метрич. пространства R И. м. Мможет иметь определенную топологич. структуру: быть, напр., топологическим или гладким многообразием, поверхностью, замкнутой, жордановой кривой, отдельной точкой. Об И. м. Мговорят тогда как об инвариантном многообразии, инвариантной поверхности, инвариантной кривой или инвариантной точке. Инвариантную точку наз. обычно точкой покоя динамич. системы, поскольку для этой точки движение сводится к покою: f(p, t) = p для всех значений t. Замкнутая инвариантная кривая, не содержащая, точек покоя динамич. системы, всегда образована траекторией периодич. движения, т. с. движения, удовлетворяющего условию

для всех и нек-рого T>0 и наз. в силу этого периодической траекторией. Примерами инвариантных многообразий могут служить сфера, тор, диск; инвариантных поверхностей - конус, лист Мёбиуса, сфера с ручками; инвариантных множеств - множество всех точек покоя, множества Wp и Ap всех, соответственно, w- и a-пределышх точек движения f(p,t),a также множество всех блуждающих Wили неблуждающих точек.

Инвариантная точка динамич. системы на плоскости

по характеру поведения траекторий в ее окрестности принадлежит к одному из 4 типов: узел, фокус, седло,

центр (см. рис.). Узел и фокус бывают асимптотически устойчивыми или неустойчивыми, седловина - неустойчива, центр - устойчив. Индекс Пуанкаре узла, центра и фокуса равен +1, седла -1. В случае, когда матрица Якоби

правой части системы (1) в точке покоя х=х 0, у=у 0 имеет собственные значения l1,l2 с ненулевой действительной частью, инвариантная точка является: узлом, если значения l1, l2 действительны и одного знака; седлом, если значения l1 , l2 действительны и разных знаков; фокусом, если значения l1,l2 комплексно сопряженные.

Во всех этих случаях тип особой точки системы (1) такой же, как у линейной системы, получаемой из (1) разложением ее правой части в ряд Тейлора в точке х=х 0, у = у 0, т. е. как тип точки х 1=0, y1 = 0 системы

матрица к-рой равна J( х 0, у 0). Между траекториями системы (1) в окрестности особой точки рассматриваемых типов и траекториями системы (2) существует более глубокая, чем отмечено выше, связь. Именно, всякий раз, когда в окрестности инвариантной точки x=х 0=0, у=у 0=0 функции f и gголоморфны и матрица J( х 0, у 0). имеет ненулевые действительные части собственных значений, существует непрерывно дифференцируемая в нек-рой окрестности Uточки х=0, у=0 замена переменных

приводящая систему уравнений (1) к системе (2).

Если значения l1,l2 мнимые, то инвариантная точка х 0, у 0 может быть либо фокусом, либо центром. Вопрос выяснения типа особой точки в этом случае представляет собой отдельную и трудную проблему - проблему центра и фокуса - и требует для отличения центра от фокуса привлечения более тонких критериев (см. [1], [7]). Аналогичные трудности возникают при определении типа особой точки и в случае, когда матрица J(x0, y0 )вырождена.

Лит.:[1] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949; [2] Биркгоф Д ж., Динамические системы, пер. с англ., М.-Л., 1941; [3] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; [4] Xартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [5] Малкин И. Г., Теория устойчивости движения, 2 изд., М., 1966; [6] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 1956; [7] Сибирский К. С, Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц, Киш., 1976.

А. М. Самойленко.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИНВАРИАНТНОЕ МНОЖЕСТВО" в других словарях:

  • ИНВАРИАНТНОЕ СРЕДНЕЕ — на группе или полугруппе G, точнее, инвариантное среднее на пространстве Xфункций на G, непрерывный линейный функционал тна замкнутом подпространстве Xпространства В(G)всех ограниченных комплекснозначных функций на G, снабженном равномерной… …   Математическая энциклопедия

  • ИНВАРИАНТНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО — представления p группы (алгебры, кольца, полугруппы) Xв векторном пространстве (соответственно в топологич. векторном пространстве) Е векторное (соответственно замкнутое векторное) подпространство такое, что для любого и любоговыполняется… …   Математическая энциклопедия

  • ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — траектории {ftx} динамической системы ft множество А х всех a предельных точек (a предельное множество) или множество Wx всех сопредельных точек (w предельное множество) этой траектории (см. Предельная, точка траектории). Для траектории {ft х}… …   Математическая энциклопедия

  • Гиперболическое множество — В теории динамических систем, говорят, что диффеоморфизм многообразия гиперболичен на инвариантном множестве , если касательное расслоение над допускает непрерывное разложение в прямую сумму, причём подрасслоения …   Википедия

  • ВПОЛНЕ ПРИВОДИМОЕ МНОЖЕСТВО — множество Млинейных операторов в топологическом векторном пространстве Е, обладающее тем свойством, что всякое замкнутое подпространство в Е, инвариантное относительно М, имеет в Еинвариантное дополнение. В гильбертовом пространстве Евсякое… …   Математическая энциклопедия

  • ВПОЛНЕ НЕПРИВОДИМОЕ МНОЖЕСТВО — множество Млинейных операторов в локально выпуклом топологическом векторном пространстве Е, всюду плотное в алгебре S(E).всех слабо непрерывных линейных операторов в Е;при этом S(E).рассматривается в слабой операторной топологии. Понятие В. н. м …   Математическая энциклопедия

  • Притягивающее множество — Притягивающее множество  такое компактное инвариантное относительно потока φt множество B⊂M, для которого существует окрестность U (открытое множество содержащее B), такая, что почти для всех при (то есть при ) Подмножество G фазового… …   Википедия

  • МИНИМАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — 1) M. м. в римановом пространстве обобщение минимальной поверхности. М . м. есть k мерное замкнутое подмножество Х 0 в римановом пространстве М п, n>k, такое, что за исключением подмножества Z k мерной хаусдорфовой мера нуль множество является …   Математическая энциклопедия

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО — гладкой динамической системы {St} компактное подмножество Fфазового многообразия М, целиком состоящее из траекторий, в окрестности каждой из к рых поведение (по отношению к ней) всех соседних траекторий (включая и те, к рые не лежат в… …   Математическая энциклопедия

  • ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — Введение Э. т. (метрическая теория динамических систем) раздел теории динамических систем, изучающий их статистич. свойства. Возникновение Э. т. (1 я треть 20 в.) было стимулировано попытками доказать эргодическую гипотезу (термин введён П. и Т.… …   Физическая энциклопедия

Книги

  • Пример Данжуа, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! В теории динамических систем, пример Данжуа — пример… Подробнее  Купить за 743 руб


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»