АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

аналитическая мера, аналитическая мера Альфорса,- функция плоского множества, введенная Л. Альфорсом [1] и являющаяся аналогом логарифмич. емкости, приспособленным для характеризации множеств устранимых особенностей ограниченных аналитических функций. Пусть Е - замкнутое ограниченное множество на плоскости, - множество функций, аналитических вне Е, равных нулю в бесконечно удаленной точке и ограниченных всюду вне Еконстантой 1, и пусть при Число паз. аналитической емкостью множества Е. А. е. произвольного множества обычно наз. верхняя грань А. е. его замкнутых ограниченных подмножеств.

Если Е - замкнутое ограниченное множество, то для того чтобы всякая аналитическая и ограниченная вне Ефункция аналитически продолжалась на множестве Е, необходимо и достаточно равенство нулю А. е. множества Е(теорем а Альфорса).

Существует также ряд родственных А. е. понятий, приспособленных к метрикам различных других пространств аналитич. функций (см., напр., [2] и [3]).

Понятие А. е. оказалось удачно приспособленным в нек-рых задачах теории приближения, где решение ряда основных вопросов формулируется в терминах А. е. Так [4], для того чтобы на замкнутом ограниченном плоском множестве Евсякая непрерывная функция равномерно приближалась с любой точностью рациональными функциями, необходимо и достаточно, чтобы для любого круга радиуса выполнялось равенство

Лит.:[1] Ahlfors L., "Duke. Math. J.", 1947, v. 14, p. 1 -11; [2] Gаrabedian P., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1950, v. 69, №3, p. 392-415; [3] Синанян С. О., "Докл. АН Арм. ССР", 1962, т. 35, №3, с. 107-12; [4] Витушкин А. Г., "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 6, с. 141-99.

А. Г. Витушкин.