ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД это:

ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД

, отображений метод,- метод теории потенциала для решения некоторых краевых (граничных) задач для дифференциальных уравнений с частными производными в области D, при к-ром выполнение краевых (граничных) условий на границе дD=T достигается путем соответствующего подбора нек-рых дополнительных источников поля, расположенных вне Dи называемых источниками-изображениями.

Наибольшее развитие И. м. получил в электростатике. Пусть, напр., требуется решить Дирихле задачу для Пуассона уравнения Du=-2pr( х, у )в полуплоскости D={(x, у): y>0, } с заданной на границе Г= {( х, у): y=0, } функцией y(x), т. е. требуется найти потенциал электрич. зарядов плотности r( х, у), расположенных в D, при условии, что на Г поддерживается потенциал y(x). Известно, что для решения этой задачи достаточно знать Грина функцию G(x, у; х 0, y0), представляющую собой потенциал единичного точечного заряда в точке когда граница Г заземлена, т. е. G(x,0; х 0, у 0)=0- При этом решение и( х, у )исходной задачи выражается через G(x, у; х 0, у 0). следующим образом:

Потенциал точечного заряда при отсутствии границ записывается в виде фундаментального решения Лапласа уравнения Добавляя отрицательный единичный заряд-изображение в точке ( х 0,- у 0 )и составляя сумму потенциалов этих двух зарядов, получают искомую функцию Грина:

В случае полосы D= {(x, у):0<у<b,}, отражая единичный заряд ( х 0, y0D от прямых у=0 и у=b, получают бесконечную последовательность зарядов-изображений -1, -1, +1, +1, ..., расположенных, соответственно, в точках ( х 0,- у 0),( х 0,2b- у 0), ( х 0, -2b+у 0),( х 0, 2b+у 0),... . Функция Грина в этом случае будет выражаться в виде бесконечного ряда потенциалов точечных зарядов. Для области Dв виде круга D={(r, j):

} изображением единичного заряда в точке (r0> j0) будет отрицательный единичный заряд, расположенный в точке (а 2/r0, j0), являющейся отображением точки (r0, j0) при помощи инверсии относительно окружности р=а.

Возможны и другие конфигурации границ, составленных из прямых и окружностей, когда решение достигается построением соответствующей последовательности зарядов-изображений.

При решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона Du=-4pr(x, у, z )в полупространстве

отражая единичный заряд от плоскости z=0, вместо (2) получают формулу

В случае шара D={(r,q, j):

} следует применить Кельвина преобразование, и изображением единичного заряда в точке (r0,q0, j0) Dбудет заряд величины - а/r0, расположенный в точке (a2/r0,q0, j0), являющейся отображением точки (r0,q0, j0) при помощи инверсии относительно сферы т=а. Отсюда получается, что если известно решение уравнения Пуассона Du=-4pr(r, q, j) в нек-рой области D, то функция v(r,q, j)=(а/r)u(а 2/r, q, j) дает решение уравнения Пуассона Dv=-4pr'(r, q, j) с плотностью r' (r, q, j)=(а/r)5r(а 2/r, q, j) в области D', являющейся отображением Dпри инверсии относительно сферы r=а. В такой форме И. м. иногда наз. методом инверсии. При применении метода инверсии необходимо обращать внимание на то, что краевые (граничные) условия, вообще говоря, также преобразуются.

Для более сложных пространственных областей, граница к-рых состоит из нескольких плоскостей или сфер, возможно также применение бесконечных последовательностей зарядов-изображений. В комбинации с предельными переходами, когда один или несколько источников удаляются в бесконечность, И. м. допускает решение и более сложных задач таких, напр., как отыскание потенциала электростатич. поля в случае проводящего шара, помещенного в однородном на бесконечности поле.

В случае уравнения Гельмгольца Du+k2u=0 И. м. применим только для областей, ограниченных прямыми, или для пространственных областей, ограниченных плоскостями, с использованием соответствующих фундаментальных решений H(1)0(kr), H(2)0(kr) или eikr/r,e-ikr/r.

Лит.:[1] Гринберг Г. А., Избр. вопросы математической теории электрических и магнитных явлений, М.- Л., 1948; [2] Смайт В., Электростатика и электродинамика, пер. с англ., М., 1954; [3] Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, т. 1, М.- Л., 1963.

Е. Д. Соломенцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД" в других словарях:

  • ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД — один из методов решения краевых задач матем. физики (для Гелъмголъца уравнения, Пуассона уравнения, волнового уравнения и др.), заключающийся в сведении исходной задачи отыскания поля заданных (сторонних) источников в присутствии граничных… …   Физическая энциклопедия

  • ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД — ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД, метод решения краевых задач математической физики для уравнений Пуассона, Гельмгольца и др. с помощью сведения исходной задачи отыскания поля, создаваемого заданными источниками в присутствии граничных поверхностей, к расчету… …   Энциклопедический словарь

  • Метод изображений — (метод зеркальных отображений)  один из методов математической физики, применяемый для решения краевых задач для уравнения Гельмгольца, уравнения Пуассона, волнового уравнения и некоторых других. Суть метода изображений состоит в том, что… …   Википедия

  • Метод главных компонент — (англ. Principal component analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях,… …   Википедия

  • Метод Главных Компонент — (англ. Principal components analysis, PCA)  один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях, таких как… …   Википедия

  • Метод Кроуноскопии — (crownscopy от англ. crown корона (свечения) и греч. scopy смотреть, наблюдать)относится к методам функциональной оценки психофизиологического состояния и адаптивных резервов организма человека. Метод основан на регистрации свечения кожного… …   Википедия

  • Метод Гутмана — – алгоритм безопасного удаления данных (например, файлов) с жесткого диска компьютера. Метод разработан Питером Гутманом и Коллином Пламбом. Метод состоит из 35 проходов, ориентированных на уничтожение записей, закодированных методами MFM и… …   Википедия

  • Метод Оцу — В области компьютерного распознавания образов и обработки изображения, Метод Оцу используется для выполнения пороговой бинаризации полутоновых изображений. Алгоритм предполагает наличие в изображении двух классов пикселей(текстовые и фоновые) и… …   Википедия

  • Метод ДНК-комет — Содержание 1 История 2 Применимость 3 Постановка метода …   Википедия

  • ОТОБРАЖЕНИЙ МЕТОД — то же, что изображений метод …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ИЗОБРАЖЕНИЙ МЕТОД» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»