ИЗГИБАНИЕ НА ГЛАВНОМ ОСНОВАНИИ это:

ИЗГИБАНИЕ НА ГЛАВНОМ ОСНОВАНИИ

- изгибание Ft поверхности F=F0, при к-ром направления экстремального изгиба остаются неизменными. Сеть, образованная линиями, имеющими направление экстремального изгиба, является сопряженной на каждой из поверхностей Ft и наз. главным основанием изгибания. Напр., геликоид имеет бесконечное число главных оснований; вращения поверхности и каналовые поверхности допускают И. на г. о., одно из семейств к-рого состоит из геодезич. линий (см. также Фосса поверхности). Задача исследования И. на г. о. была поставлена К. М. Петерсоном [1] в 1866; он же установил, что если нек-рая поверхность Fизометрично -преобразована в две другие поверхности F' и F" так, что направления экстремального изгиба (и, следовательно, основание изгибания) F в F' совпадают с направлениями экстремального изгиба Fв F", то существует изгибание Ft поверхности F, включающее F' и F", с теми же направлениями экстремального изгиба; другими словами, если нек-рая сопряженная сеть на Fслужит основанием двух различных ее изгибаний F' и F", то она является главным основанием изгибания.

Если известны поверхности F, F', F", то все остальные поверхности Ft, получаемые при изгибании Fна главном основании, определяются теоремой: пусть x.- нормальная кривизна Fв направлении одного из двух семейств главного основания а в произвольной точке а x', x", xt- нормальные кривизны поверхностей F', F" и Ft в соответствующих точках и направлениях, тогда двойное отношение t=(х 2, x'2,x"2, x2t )сохраняет постоянную величину для всех положений Мна F.

Поверхность, допускающая И. на г. о., может быть охарактеризована только сферическим изображением главного основания: уравнения, описывающие И. на г. о., преобразуются так, что содержат только коэффициенты линейного элемента сферич. изображения поверхности и получают вид: (уравнения Коссера), где - символы Кристоффеля третьей квадратичной формы поверхности, а дифференцирование ведется вдоль координатных линий и, v, составляющих главное основание изгибания. Сферич. изображение главного основания изгибания совпадает со сферич. изображением асимптотич. линий Бианки поверхности, к-рая является вращений индикатрисой (или присоединенной поверхностью) бесконечно малого изгибания F, соответствующего И. на г. о., а также с изображением в смысле Клиффорда асимптотич. линий нек-рой поверхности в эллиптич. пространстве (являющейся поворотов диаграммой И. на г. о. поверхности F).

Не все поверхности обладают главным основанием, т. е. поверхности, допускающие И. на г. о., образуют специальный класс поверхностей [4]. Обобщением И. на г. о. является изгибание на кинематическом основании, к-рое определяется тем, что коэффициенты второй квадратичной формы bij удовлетворяют уравнению bijAij=c, где Aij -некоторый невырожденный тензор, с - функция, зависящая от метрики gij поверхности Fи ее производных.

Лит.:[1] Петерсон К. М., "Матем. сб.", 1866, т. 1, с. 391-438; [2] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. 2, М.- Л., 1948; [3] Фиников С. П., Изгибание на главном основании и связанные с ним геометрические задачи, М.- Л., 1937: [4] Лузин Н. Н., "Изв. АН СССР. Отдел, техн. наук", 1939, № 2, с. 81 - 106; № 7, с. 115-32; № 10, с. 65-84.

М. И. Войцеховский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИЗГИБАНИЕ НА ГЛАВНОМ ОСНОВАНИИ" в других словарях:

  • ИЗГИБАНИЕ — изометрическая деформация подмногообразия Мв римановом пространстве V, т. е. деформация, при к рой длины кривых на Мне изменяются. Задача об И. поверхностей ведет свое начало от К. Гаусса (С. Gauss) и принадлежит к числу основных проблем… …   Математическая энциклопедия

  • ПЕТЕРСОНА СООТВЕТСТВИЕ — соответствие двух поверхностей, при к ром их касательные плоскости в соответствующих точках параллельны. В общем виде рассмотрено К. М. Петерсоном [1] в связи с задачей изгибания на главном основании. Напр., в П. с. находятся поверхность и ее… …   Математическая энциклопедия

  • ДЕМУЛЕНА ТЕОРЕМА — геликоид имеет бесконечное число (а именно бесконечность 2) систем сопряженных сетей линий, сохраняющихся в непрерывном изгибании этой поверхности ее главных оснований (см. Изгибание на главном основании). Установлена А. Демуленом [1]. При этом… …   Математическая энциклопедия

  • ПЕТЕРСОНА ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, обладающая сопряженной сетью конических или цилиндрич. линий, являющейся главным основанием изгибания (см. Изгибание на главном основании). Напр., П. п. является каналовая поверхность, переноса поверхность, вращения поверхность.… …   Математическая энциклопедия

  • БИАНКИ КОНГРУЭНЦИЯ — конгруэнция В, конгруэнция прямых, у к рой кривизны фокальных поверхностей в точках, лежащих на одной прямой конгруэнции, равны и отрицательны. Главные поверхности конгруэнции Ввысекают на ее фокальных поверхностях сопряженные системы линий.… …   Математическая энциклопедия

  • СИНУС ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ — Sinе Gоrdоn уравнение, релятивистски инвариантное уравнение, в пространственно временных переменных имеющее вид (A) Название предложено М. Крускалом по аналогии с линейным Клейна Гордона уравнением (где вместо sin истоит и). В характеристических… …   Математическая энциклопедия

  • Фиников, Сергей Павлович — Сергей Павлович Фиников Дата рождения: 3 (15) марта 1883(1883 03 15) Место рождения: Новгород, Российская империя Дата смерти: 27 февраля 1964( …   Википедия

  • СИНУС-ГОРДОНА УРАВНЕНИЕ — релятивистски инвариантное ур ние …   Физическая энциклопедия

  • БИАНКИ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность отрицательной гауссовой кривизны , к рая в асимптотич. параметрах имеет вид: где произвольные функции; таким образом, инвариантный признак Б. п. состоит в том, что функция диагональна относительно ее асимптотич. сети, т. е. Напр.,… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ИЗГИБАНИЕ НА ГЛАВНОМ ОСНОВАНИИ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»