АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ это:

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрич. образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2-го порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики н техники в 17 в. Отчетливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ А. г. было сделано Р. Декартом (R. Dercartes) в его "Геометрии" (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма (P. Fermat). Дальнейшая разработка А. г. связана с трудами Г. Лейбница (G. Leibniz), И. Ньютона (I. Newton) и особенно Л. Эйлера (L. Euler). Средствами А. г. пользовался Ж. Лагранж (J. Lagran-ge) при построении аналитич. механики, Г. Монж (G. Monge) в дифференциальной геометрии. Ныне А. г. не имеет самостоятельного значения как наука, однако ее методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и др. наук.

Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, напр., на плоскости л две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу. Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат Ои выбранной масштабной единицей еобразуют так наз. декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ох и Оу наз. соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки Мна плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть М х и My - проекции Мна Ох и Оу, а числа хи у- величины отрезков ОМ х и ОМ у (величина хотрезка ОМ x , напр., равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к М х совпадает с направлением на прямой Ох, и со знаком минус - в противоположном случае). Числа z (абсцисса) и у(ордината) наз. декартовыми прямоугольными координатами точки Мв системе Оху. Для обозначения точки М с абсциссой хи ординатой упользуются символом М( х, у). Ясно, что координаты точки Мопределяют ее положение относительно системы Оху.

Пусть на плоскости я с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана нек-рая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии Lотносительно системы Оху как соотношения вида F(x, у) = 0, к-рому удовлетворяют координаты хи улюбой точки М, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L.

Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрич. свойства линии Lвыясняются путем изучения аналитич. и алгебраич. средствами свойств уравнения F(x, y)=0 этой линии. Напр., геометрич. вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится аналитич. вопросу о числе решений алгебраич. системы уравнений прямой и окружности.

В А. г. на плоскости подробно изучаются геометрич. свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Конические сечения).

В А. г. на плоскости систематически исследуются так наз. алгебраические линии 1-го и 2-го порядков; эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраич. уравнениями 1-й и 2-й степеней. Линии 1-го порядка суть прямые и обратно, каждая прямая определяется алгебраич. уравнением 1-й степени Ах+Ву+С=0. Линии 2-го порядка определяются уравнениями вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в к-рой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. См. Линии второго порядка.

В А. г. в пространстве декартовы прямоугольные координаты х, у и z (абсцисса, ордината и аппликата) точки Мвводятся в полной аналогии с плоским случаем. Каждой поверхности Sв пространстве можно сопоставить ее уравнение F(x, у,z)=0 относительно системы координат Oxyz. При этом геометрич. свойства поверхности S выясняются путем изучения аналитич. и алгебраич. средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию Lв пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S1 и S2. Если F1(x, у,z) = 0 и Р 2 (х, у, z) = 0 - уравнения S1 и S2, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Напр., прямую Lв пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. В А. г. в пространстве систематически исследуются так наз. алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков. Выясняется, что алгебраич. поверхностями 1-го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2-го порядка определяются уравнениями вида:


Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в к-рой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. См. Поверхности второго порядка.

Лит.: [1] Декарт Р., Геометрия, пер. с франц. и латин., М.- Л., 1938; [2] Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; [3] Ефимо в Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., M., 1967; [4] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968; [5] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; [6] Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973; [7] Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд., М., 1964. Э. Г. Позняк.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" в других словарях:

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — 1) наука о кривых линиях 2 й степени. 2) приложение алгебры к геометрии. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АНАЛИТИКА ИЛИ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ наука, прилагающая математический анализ к исследованию …   Словарь иностранных слов русского языка

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, см. КООРДИНАТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются средствами алгебры. Существенным при этом является применение координат и исследование геометрических свойств по свойствам уравнений. Основы аналитической… …   Современная энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в котором свойства геометрических образов (точек, линий, поверхностей) устанавливаются средствами алгебры при помощи метода координат, т. е. путем изучения свойств уравнений, графиками которых эти образы являются. В… …   Большой Энциклопедический словарь

  • аналитическая геометрия — сущ., кол во синонимов: 1 • ангем (1) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • Аналитическая геометрия — АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются средствами алгебры. Существенным при этом является применение координат и исследование геометрических свойств по свойствам уравнений. Основы аналитической… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — часть математики, в которой изучаются свойства геометрических образов (точек, линий, поверхностей и тел) средствами (см.) и анализа на основе метода координат …   Большая политехническая энциклопедия

  • Аналитическая геометрия — Декартова система координат Аналитическая геометрия  раздел геометрии, в котором …   Википедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Создание аналитической геометрии обычно приписывают Р.Декарту, изложившему ее основы в последней главе своего… …   Энциклопедия Кольера

  • Аналитическая геометрия —         раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат (см. ниже) и методы… …   Большая советская энциклопедия

Книги

  • Аналитическая геометрия, И.И. Сомов. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Воспроизведено в оригинальной авторской орфографии издания 1907 года (издательство "S.-Peterburg,… Подробнее  Купить за 755 руб
  • Аналитическая геометрия, В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Учебник написан на основе опыта преподавания авторов в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. Первое издание вышло в 1968 г., второе (1971 г.) и третье (1981 г.)… Подробнее  Купить за 483 руб
  • Аналитическая геометрия, Золотаревская Д.И.. Настоящее учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования Российской Федерации. Оно включает в себя все вопросы,… Подробнее  Купить за 466 руб
Другие книги по запросу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»