ДЮБУА-РЕЙМОНА ТЕОРЕМА

о единственности разложения функции в ряд: если сумма всюду сходящегося тригонометрич. ряда интегрируема по Риману, то этот ряд является ее рядом Фурье; доказана П. Дюбуа-Реймоном [1]. Важный частный случай сходимости тригонометрич. ряда к нулю несколько ранее рассмотрел Г. Кантор [2].

Д.-Р. т. обобщалась в различных направлениях. Для интеграла Лебега с условием ограниченности суммы аналогичную теорему доказал А. Лебег (Н. Lebesgue), без этого условия - Ш. Ж. Балле Пуссен (Ch. J. de la Vallee-Poussin) (см. [3], с. 200, 789). Имеются аналоги этой теоремы для интегралов Данжуа (см. [5]).

Другое направление обобщений заключается в ослаблении условия сходимости всюду. У. Юнг (W. Young) доказал, что можно пренебрегать счетным множеством (см. [3], с. 792), Д. Е. Меньшов показал, что нельзя пренебрегать любым множеством меры нуль (см. Меньшова пример нуль-ряда или [3], с. 804). О дальнейших работах в этом направлении см. [3], [4]. Еще одно направление обобщений получается при замене требования сходимости требованием суммируемости. Впервые этим стал заниматься М. Рисе (М. Riesz, [4]).

Лит.:[1] D u Воis - Rеуmоnd P., "Abh. Akad. Wiss. Math.-Phys. Kl.", 1876, Bd 12, Tl 1, S. 117-66; [2] Cantor G., "Math. Ann.", 1872, Bd 5, S. 123-32; [3] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [4] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1-2, пер. с англ., М., 1965; [5] Виноградова И. А., Скворцов В. А., в сб.: Итоги науки. Математический анализ. 1970, М., 1971, с. 65 -107.

Т. П. Лукашенко.