ДРОБНЫХ ШАГОВ МЕТОД это:

ДРОБНЫХ ШАГОВ МЕТОД

- метод построения экономичных (в смысле числа операций) устойчивых разностных схем для решения дифференциальных уравнений математич. физики.

При увеличении размерности задачи число операций для получения численного решения растет как вследствие роста числа точек, так и вследствие логич. трудностей составления программы расчета. Для системы дифференциальных уравнений

где - дифференциальный оператор, и= и( х, t), x=(xt,..., х п), абсолютно устойчивые неявные схемы простой аппроксимации

становятся неэффективными в случае многомерных задач. В одних случаях требуется использовать слишком мелкий шаг по времени, в других нахождение каждого un+1 требует constХNa(m) операций, где N- число точек на одно измерение, т- число пространственных измерений, а a(т)сильно растет с увеличением т.

Для получения экономичных устойчивых разностных схем предложены методы, основанные на следующих идеях:

1) расщепления разностных схем;

2) приближенной факторизации;

3) расщепления (слабой аппроксимации) дифференциальных уравнений.

В случае уравнения (1) соответствующие разностные схемы имеют вид (для простоты взяты два дробных шага и рассматривается периодич. задача Коши): схема расщепления:

схема приближенной факторизации:

схема слабой аппроксимации:

В случае схем (3) и (4) обращение оператора заменяется обращением оператора т. е. последовательным обращением операторов Е- вообще говоря, более простой структуры.

Трактовка (5) позволяет рассматривать схему расщепления

как простую аппроксимацию уравнения (5), слабо аппроксимирующего уравнение (1).

Таким образом, в основе этих методов лежит представление сложных операторов через простейшие, при этом интегрирование исходного уравнения сводится к интегрированию уравнений более простой структуры, а методы дробных шагов обязаны удовлетворять условиям аппроксимации и устойчивости только в окончательном итоге (при записи их в "целых" шагах). Методом расщепления решаются многие сложные задачи математич. физики.

Большое развитие получили схемы расщепления повышенного порядка точности. К одной из модификаций метода расщепления принадлежит метод "частиц в ячейках": здесь расщепление производится по физическим процессам и не связано с понижением размерности операторов.

Лит.:[1] Яненко Н. Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [2] Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971.

Н. Н. Яненю.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДРОБНЫХ ШАГОВ МЕТОД" в других словарях:

  • РАСЩЕПЛЕНИЯ МЕТОД — сеточный метод решения нестационарных задач со многими пространственными переменными, в к ром переход от заданного временного слоя tn к новому слою осуществляется за счет последовательного решения сеточных аналогов родственных нестационарных… …   Математическая энциклопедия

  • ПЕРЕМЕННЫХ НАПРАВЛЕНИЙ МЕТОД — итерационный метод решения систем линейных или нелинейных уравнений, возникающих в разностных или проекционно разностных методах при приближенном решении, напр., краевых задач для уравнений с частными производными эллиптич. типа. Пусть, напр.,… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ — методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… …   Математическая энциклопедия

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов. Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич.… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ — точно определенное указание действий над данными, позволяющее с помощью цифровой вычислительной машины дискретного действия преобразовать за конечное количество операций нек рый массив данных (входные данные) в другой массив данных (выходные… …   Математическая энциклопедия

  • Яненко, Николай Николаевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Яненко. Николай Николаевич Яненко Дата рождения: 22 мая 1921(1921 05 22) Место рождения: город Каинск, Томская губерния (ныне Куйбышев Новосибирской области) Дата смерти …   Википедия

  • НАВЬЕ - СТОКСА УРАВНЕНИЯ — основные уравнения движения вязкой жидкости, представляющие математическое выражение законов сохранения импульса и массы. Для неустановившегося течения сжимаемой жидкости Н. С. у. в декартовой системе координат могут быть, записаны в виде где… …   Математическая энциклопедия

  • Яненко Николай Николаевич — Н. Н. Яненко. Яненко Николай Николаевич (1921—1984) — советский учёный в области математики и механики, академик АН СССР (1970; член корреспондент с 1966), Герой Социалистического Труда (1981). Окончил Томский государственный… …   Энциклопедия «Авиация»

  • Яненко Николай Николаевич — Н. Н. Яненко. Яненко Николай Николаевич (1921—1984) — советский учёный в области математики и механики, академик АН СССР (1970; член корреспондент с 1966), Герой Социалистического Труда (1981). Окончил Томский государственный… …   Энциклопедия «Авиация»

  • КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — численные методы решения для уравнений с частными производными приближенные методы решения, в результате к рых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»