АЛЕФЫ это:

АЛЕФЫ

,- первая буква древнееврейского алфавита,- символы, введенные Г. Кантором (G. Cantor) для обозначения кардинальных чисел (мощностей) бесконечных вполне упорядоченных множеств. Каждое кардинальное число есть нек-рый А. (следствие выбора аксиомы). Но многие теоремы об А. доказываются без аксиомы выбора. Для каждого порядкового числа через обозначается мощность множества всех порядковых чисел, меньших . В частности, есть мощность множества всех натуральных чисел, - мощность множества всех счетных порядковых чисел и т. д. Если Кардинал является наименьшим кардинальным числом, следующим за . Обобщенная континуум-гипотеза заключается в том, что для любого порядкового числа . При равенство приобретает вид и составляет содержание континуум-гипотезы. Множество всех А., меньших , вполне упорядочено по величине и порядковый тип его равен . Естественным образом определяются сумма, произведение и степень А . При этом


Наиболее часто встречаются следующие формулы. Рекурсивная формула Хаусдорфа:


ее частным случаем при является формула Бернштейна:


Рекурсивная формула Тарского: если порядковое число предельно и , то


При этом обозначает конфинальный характер порядкового числа . Как и в случае кардинальных чисел, различают сингулярные А., регулярные А., предельные А., слабо недостижимые А., сильно недостижимые А. и др. Напр., сингулярно, если предельно и Среди А. нет наибольшего. Множество всех А., как показал Г. Кантор, не мыслимо, т. е. такого множества не существует. См. также Вполне упорядоченное множество, Кардинальное число, Континуум-гипотеза, Множеств теория, Порядковое число.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; [2]Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937; [3]Коэн П. Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; [4] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970. Б. А. Ефимов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛЕФЫ" в других словарях:

  • БЕСКОНЕЧНОЕ —         филос. категория, характеризующая неисчерпаемость материи и движения, многообразие явлений и предметов материального мира, форм и тенденций его развития. Признавая объективное существование Б. в природе, диалектич. материализм отвергает… …   Философская энциклопедия

  • АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — направление в математич. логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математич. логики. Обычно с этой целью фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной аксиоматич. теории. В более узком смысле… …   Математическая энциклопедия

  • КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО — трансфинитное число, мощность по Кантору, кардинал множества A, такое свойство этого множества, к рое присуще любому множеству В, равномощному А. При этом два множества Аи Вназ. равномощными, если существует взаимно однозначная функция f : с… …   Математическая энциклопедия

  • КОНТИНУУМ-ГИПОТЕЗА — гипотеза Г. Кантора (G. Cantor, 1878), состоящая в том, что всякое бесконечное подмножество континуума R равномощно либо множеству натуральных чисел, либо R. Эквивалентная формулировка (при наличии выбора аксиомы): (см. Алефы). Обобщение этого… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»