АЛЕФЫ

,- первая буква древнееврейского алфавита,- символы, введенные Г. Кантором (G. Cantor) для обозначения кардинальных чисел (мощностей) бесконечных вполне упорядоченных множеств. Каждое кардинальное число есть нек-рый А. (следствие выбора аксиомы). Но многие теоремы об А. доказываются без аксиомы выбора. Для каждого порядкового числа через обозначается мощность множества всех порядковых чисел, меньших . В частности, есть мощность множества всех натуральных чисел, - мощность множества всех счетных порядковых чисел и т. д. Если Кардинал является наименьшим кардинальным числом, следующим за . Обобщенная континуум-гипотеза заключается в том, что для любого порядкового числа . При равенство приобретает вид и составляет содержание континуум-гипотезы. Множество всех А., меньших , вполне упорядочено по величине и порядковый тип его равен . Естественным образом определяются сумма, произведение и степень А . При этом

Наиболее часто встречаются следующие формулы. Рекурсивная формула Хаусдорфа:

ее частным случаем при является формула Бернштейна:

Рекурсивная формула Тарского: если порядковое число предельно и , то

При этом обозначает конфинальный характер порядкового числа . Как и в случае кардинальных чисел, различают сингулярные А., регулярные А., предельные А., слабо недостижимые А., сильно недостижимые А. и др. Напр., сингулярно, если предельно и Среди А. нет наибольшего. Множество всех А., как показал Г. Кантор, не мыслимо, т. е. такого множества не существует. См. также Вполне упорядоченное множество, Кардинальное число, Континуум-гипотеза, Множеств теория, Порядковое число.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; [2]Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937; [3]Коэн П. Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; [4] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970. Б. А. Ефимов.