ДОВЕРИТЕЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

- метод математич. статистики, предназначенный для построения множества приближенных значений неизвестных параметров вероятностных распределений.

Пусть X- случайный вектор, принимающий значения на множестве в евклидовом пространстве, причем распределение вероятностей этого вектора принадлежит параметрич. семейству распределений, заданному плотностями p(x|q),относительно нек-рой меры m(x). Предполагается, что истинное значение параметрич. точки q, соответствующей результату наблюдений X, неизвестно. Суть Д. о. заключается в построении такого множества С(Х), зависящего от X, к-рое содержит значение заданной функции u(q), соответствующее неизвестному истинному значению параметрич. точки q.

Пусть U - множество значений функции u(q), и пусть С(х),- какая-либо совокупность множеств, принадлежащих Uпри всех хиз причем предполагается, что для произвольного элемента и любого значения определена вероятность события Эта вероятность выражается интегралом

и наз. вероятностью накрытия множеством С(Х)значения ипри заданном значении q.

Если истинное значение q неизвестно, то множество С{Х )(из совокупности множеств С(х),), соответствующее результату наблюдений X, наз. доверительным множеством, или интервальной оценкой, для неизвестного истинного значения функции м(8). В качестве вероятностной характеристики интервальной оценки С(Х), построенной по указанному правилу, используется доверительная вероятность Р _C(q), выражающаяся в терминах вероятности накрытия равенством

Иными словами, Р _C(q)- вероятность накрытия множеством С(Х)значения заданной функции и(в), соответствующего неизвестной истинной параметрич. точке q.

В тех случаях, когда доверительная вероятность Р _C(q) от 9 не зависит, интервальную оценку С(Х)наз. подобной пространству выборок. Это название обусловлено аналогией формул

и

В более общей ситуации Р _C(8) зависит от неизвестного q, и поэтому в практич. работе принято характеризовать качество интервальной оценки коэффициентом доверия

где нижняя грань вычисляется на множестве G (иногда коэффициент доверия наз. доверительным уровнем).

Оптимизация Д. о. определяется теми требованиями, к-рые предъявляются к интервальным оценкам. Напр., если цель заключается в построении доверительных множеств, подобных пространству выборок и имеющих заданный коэффициент доверия со (0,5<w<1), то первое требование выражается тождеством

При этом естественно искать такие интервальные оценки, к-рые накрывают истинное значение u(q) с вероятностью, не меньшей вероятности накрытия любого произвольного значения Иными словами, второе требование, называемое требованием несмещенности, выражается неравенством

В этих условиях "наилучшей" разумно считать ту интервальную оценку С, к-рая с меньшей вероятностью накрывает любое значение и, отличное от истинного и(q). Отсюда возникает третье требование "наибольшей селективности": для всякого другого доверительного множества С", отличного от Си удовлетворяющего условию должно выполняться неравенство

Задача отыскания интервальных оценок С, удовлетворяющих указанным трем требованиям, эквивалентна задаче построения несмещенных, наиболее мощных статистич. критериев, подобных пространству выборок и имеющих уровень значимости 1 - w. Вопросы существования решения такой задачи и его конструктивного описания составляют основу общей теории статистич. проверки гипотез.

Наиболее часто применяется Д. о. в ситуации, когда и(q) - скалярная функция. Пусть Х ₁, ..., Х _n, - независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же нормальному распределению с неизвестными параметрами ЕХ _i=q₁ и DX_i= q₂, причем требуется построить интервальную оценку для u(q)=q₁. Пусть

Поскольку случайная величина подчиняется Стъюдента распределению с п-1 степенями свободы и это распределение не зависит от неизвестных параметров q₁ и q₂ ( q₂>0), то при любом положительном tвероятность события

зависит лишь от t. Если указанный интервал принять за интервальную оценку Сдля q₁, то ему будет соответствовать доверительная вероятность

не зависящая от q=(q₁, q₂). Такую интервальную оценку наз. доверительным интервалом, а ее концевые точки - доверительными границами, или доверительными пределами, причем в данном случае доверительный интервал представляет собой интервальную оценку, подобную пространству выборок. В приведенном примере интервальная оценка является несмещенной и наиболее селективной.

Лит.:[1] Уилкс С, Математическая статистика, пер. с англ., М., 1967; [2] Шметтерер Л., Введение в математическую статистику, пер. с нем., М., 1976; [3] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., М., 1964; [4] Большев Л. Н., "Теория вероят. и ее примен.", 1965, т. 10, в. 1, с. 187-92.

Ю. В. Линник, Н. М. Халфина.