- ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
кольца - отображение дкольца Rв себя, (-являющееся эндоморфизмом аддитивной группы кольца Rи удовлетворяющее соотношению
Пусть М- левый R-модуль. Дифференцированием- кольца Л со значениями в Мназ. гомоморфизм соответствующих аддитивных групп, удовлетворяющий условию
для всех х, у из Л. Для любого элемента с из центра Скольца Л отображение
где д - дифференцирование, является Д. Сумма двух дифференцирований также является Д. Это определяет на множестве всех Д. кольца Л со значениями в Мструктуру С-модуля, обозначаемого Der(R, М). Если Sподкольцо в Л, то Д. дтакое, что д(s) = 0 для всех 
наз. S-дифференцированием. Множество всех S-дифференцирований образует подмодуль в Der(Л, М), обозначаемый Ders (Л, М). Операция
определяет в S-модуле DerS (Л, М)структуру S-алгебры Ли. Если j:.
- гомоморфизм R-модулей, то для любого 
композиция 
Der(R, M).Пусть R - кольцо полиномов А[ Т 1,..., Т п]с коэффициентами в коммутативном кольце А. Отображение
является А-дифференцированием кольца R, а R-модуль DerA(R, R) - свободным модулем с базисом д/дТ 1, ...,д/дТ n.
Для любого элемента аассоциативного (соответственно лиева) кольца R отображение
(соответственно 
) будет Д. кольца R, наз. внутренним дифференцированием. Д., не являющееся внутренним, наз. внешним.Если R- подкольцо кольца R' и
то говорят, что 
продолжает д, когда ограничение 
на R совпадает с д. В случае, когда R- коммутативное целостное кольцо, а R'- его поле частных, а также в случаях, когда R'- сепарабельное алгебраич. расширение поля R или R - алгебра Ли над полем k, а R'- ее обертывающая алгебра, существует единственное продолжение любого Д. д:
на Л'.Имеется тесная связь между Д. и изоморфизмами колец. Напр., если д- нильпотентное Д., т. е. д п=0, и R - алгебра над полем характеристики нуль, то отображение
является автоморфизмом k-алгебры R. Если R - локальное коммутативное кольцо с максимальным идеалом m, то имеет место биекция между множеством Д. Der(R, R/m) и множеством автоморфизмов кольца R/m2, индуцирующих тождественный автоморфизм поля вычетов R/m. Д. несепарабельных расширений полей играют роль элементов группы Галуа сепарабельных расширений в теории Галуа таких расширений [4].
Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947; [3] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Моrdesоn J., Vinograde В., Structure of arbitrary purely inseparable extension fields, В., 1970.
И. В. Долгачев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
