АЛЕКСАНДЕРА ИНВАРИАНТЫ это:

АЛЕКСАНДЕРА ИНВАРИАНТЫ

инварианты, связанные с модульной структурой одномерных гомологии многообразия , на к-ром свободно действует свободная абелева группа ранга ас фиксированной системой образующих

Проекция многообразия на пространство орбит М является накрытием, отвечающим ядру гомоморфизма фундаментальной группы многообразия М. Так как то группа где - коммутант ядра , изоморфна одномерной группе гомологии . При этом расширение порождает расширение (*): к-рое определяет на модульную структуру над целочисленным групповым кольцом группы (см. Групповая алгебра). Та же самая структура индуцируется в данным действием на . Фиксация образующих в отождествляет с кольцом лорановых многочленов от переменных ti . Расширение чисто алгебраически определяет и определено модульным расширением : (см. [5]). Здесь - ядро гомоморфизма е: (=1). Модуль наз. модулем Александера накрытия . В случае (рассмотренном впервые Дж. Александером [1]), в к-ром - дополнительное пространство нек-рого зацепления kкратности и. в трехмерной сфере , а накрытие отвечает гомоморфизму коммутирования : группы зацепления, - наз. модулем Александера зацепления k. Основные свойства G, существенные для дальнейшего: - свободная абелева группа, дефект группы Gравен 1, G имеет непредставление для к-рого (см. Узлов и зацеплений диаграммы). В случае зацеплений образующие отвечают меридианам компонент и фиксируются ориентацией этих компонент и сферы.

Обычно Месть дополнительное пространство М(k).зацепления k, состоящего из ( п-2)-мерных сфер в . Кроме гомоморфизма рассматривается гомоморфизм : , где равно сумме коэффициентов зацепления петли, представляющей , со всеми .

Матрица модульных соотношений модуля А а наз. матрицей Алексапдера накрытия, а в случае зацеплений - матрицей Александера зацепления. Она может быть получена как матрица где - копредставление группы G. При матрица модульных соотношений для получается из отбрасыванием столбца из нулей. Матрицы и определены модулями и лишь с точностью до преобразований, отвечающих переходам к другим копредставлениям модуля. Однако с их помощью вычисляется ряд инвариантов модуля. Идеала м и Александера наз. идеалы модуля А а, т. е. ряд идеалов кольца : где порождается минорами матрицы порядка для . Употребляется и противоположный порядок нумерации. Так как - гауссово кольцо и нётерово кольцо, то каждый идеал лежит в минимальном главном идеале его образующая определена с точностью до делителей единицы . Лоранов многочлен наз. i - м многочленом Александера, а - просто многочленом Александера зацепления (или накрытия ). Если то он домножается на так, чтобы Гомоморфизму отвечает модуль А,

идеалы и полиномы , к-рые наз., соответственно, приведенным модулем Александера, приведенными идеалами Александера и приведенными многочленами Александера зацепления k(или накрытия -v. Если , то получается из заменой всех на . При делится на Полином наз. полиномом Хосокавы [4]. Модульные свойства (К).изучены в [4], [8], [10]. Случай зацеплений исследован мало. Для группа конечно порождена над любым кольцом R, содержащим Z, в к-ром обратим [7], в частности, над полем рациональных чисел, а если то над Z. В этом случае - характеристич. многочлен преобразования Степень равна рангу в частности, в том и только том случае, когда

При n= 3 идеалы зацепления обладают следующим свойством симметрии: где черта означает взятие образа при автоморфизме, порожденном заменой всех на Отсюда вытекает, что = для нек-рых целых . Эта симметрия является следствием двойственности Фок-са - Троттера для групп узлов и зацеплений. Она может быть выведена также из Пуанкаре двойственности для многообразия с учетом свободного действия (см. [3]). Если то над полем дробей кольца цепной комплекс ацикличен (= 3). Следовательно, определено Рейдемейстера кручение отвечающее вложению где - группа единиц . Для для (с точностью до единиц ). Симметрия для n=3 является следствием симметрии . В случае из симметрии и свойства вытекает четность степени . Степень также четна [4]. Свойства многочленов узлов : делит и для , превосходящих нек-рое N, являются характеристическими, т. е. для каждого набора с этими свойствами существует узел , для к-рого они служат многочленами Александера. Полиномы Хосокавы [4] характеризуются свойством при любом ; полиномы двумерных узлов - свойством

А. п., в первую очередь многочлены, являются мощным средством различения узлов и зацеплений. Напр., среди узлов из таблицы с менее чем девятью двойными точками А! не различает только три пары (см. Узлов таблица). См. также Узлов теория, Альтернирующие узлы и зацепления.

Лит.:[1] Alexander J. W., "Trans. Amer. Math. 8оз.", 1928, v. 30, № 2, p. 275-306; [2] Reidemeister K., Knotentheorie, В., 1932; [3] Blanchfield R. G., "Ann. Math.", 1957, v. 65, p. 340-56; [4] Hоsоkawa P., "Osaka J. Math.", 1958, v. 10, p. 273-82; [5] Сrоw e11 R. H., "Nagoya Math. J.", 1961, v. 19, p. 27-40; [6] Кроуэлл Р., Фоке Р., Введение в теорию узлов, пер. с англ., М., 1967; [7] Neuwirth L., Knot group, Princeton (N.Y.), 1965; [8] Сrоwe11 R. H., "J. Math, and Mech.", 1965, v. 14, № 2, p. 289-98; [9] Levine J., "Amer. J. Math.", 1967, v. 89, p. 69-84; [10] Mi1nоr J. W., в кн.: Conference on the topalogy of manifolds, v. 13, Boston (a.o.), 1968, p. 115-33.

А. В. Чернавский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АЛЕКСАНДЕРА ИНВАРИАНТЫ" в других словарях:

  • УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ — формы, сопоставляемые трехмерным узлам и зацеплениям; нек рые инварианты этих форм являются топологич. инвариантами изотопич. типа узлов и зацеплений. У. и з. к. ф. возникают в результате симметризации спариваний Зейферта (см. Зейферта матрица).… …   Математическая энциклопедия

  • АЛЬТЕРНИРУЮЩИЕ УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ — узлы и зацепления, имеющие альтернирующую диаграмму (см. Узлов и зацеплений диаграммы), т. е. такую проекцию в общее положение на плоскость, при к рой при обходе каждой компоненты проходы сверху и снизу двойных точек чередуются. Каждую диаграмму… …   Математическая энциклопедия

  • КОС ТЕОРИЯ — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы, составленные из их классов эквивалентности, и различные обобщения этих групп [1]. Коса из пнитей объект, состоящий из двух параллельных плоскостей Р 0 и Р 1 в трехмерном пространстве R3,… …   Математическая энциклопедия

  • ЗЕЙФЕРТА МАТРИЦА — матрица, сопоставляемая узлам и зацеплениям для алгебраич. изучения их топологич. свойств. Названа в честь Г. Зейферта [1], применившего эту конструкцию для получения алгебраич. инвариантов одномерных узлов в S3. Пусть L=(Sn+2, ln )есть n мерное… …   Математическая энциклопедия

  • Теория узлов — Теория узлов  изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу . В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вообще вложения многообразий. Содержание 1… …   Википедия

  • Зацепление — Теория узлов  изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу S3. В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вообще вложения многообразий. Содержание 1 Основные… …   Википедия

  • Инвариант узла — У этого термина существуют и другие значения, см. Инвариант. Инвариантом узла называют величину (в широком смысле), определённую для каждого узла, одинаковую для эквивалентных узлов. Эквивалентность обыкновенно задаётся объемлющей изотопией, но… …   Википедия

  • ТОПОЛОГИЯ — в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях. Матем. формализация идеи о топологич. свойствах… …   Физическая энциклопедия

  • ДВОЙСТВЕННОСТЬ — 1) Д. в алгебраической геометрии двойственность между различными пространствами когомологий на алгебраич. многообразиях. Когомологий когерентных пучков. Пусть X неособое проективное алгебраич. многообразие размерности nнад алгебраически замкнутым …   Математическая энциклопедия

  • МНОГОМЕРНЫЙ УЗЕЛ — изотопический класс вложений сферы в сферу. Более точно, re мерным узлом коразмерности q наз. пара , состоящая из ориентированной сферы и ее ориентированного локально плоского подмногообразия , гомеоморфного сфере . Два узла наз. эквивалентными,… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»