АБЕЛЯ ТЕОРЕМА это:

АБЕЛЯ ТЕОРЕМА

- 1) А. т. об алгебраических уравнениях : ни для какого п, большего или равного пяти, нельзя указать формулу, к-рая выражала бы корни любого уравнения n-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов. Найдена Н. Абелем в 1824 (см. [1]). А. т. может быть получена также как следствие Галуа теории, из к-рой вытекает и более общее утверждение: для любого существуют алгебраич. уравнения с целыми коэффициентами, корни к-рых не выражаются через радикалы из рациональных чисел. Современную формулировку А. т. для уравнений над произвольным полем см. Алгебраическое уравнение.

2) А. т. для степенных рядов: если степенной ряд


где - комплексные числа, сходится при то он абсолютно и равномерно сходится в любом круге радиуса с центром в точке b. Установлена Н. Абелем [2]. Из этой теоремы вытекает, что существует число обладающее тем свойством, что при ряд сходится, а при расходится. Это число Rназ. радиусом сходимости ряда (*), а круг наз. кругом сходимости ряда (*).

3) А. т. о непрерывности: если степенной ряд (*) сходится в точке z0 границы круга сходимости, то он представляет собой непрерывную функцию в любом замкнутом треугольнике Т с вершинами где лежат внутри круга сходимости. В частности,


Этот предельный переход всегда можно осуществить по радиусу: на всем радиусе круга сходимости, соединяющем точки будет сходиться равномерно. Эта теорема используется, в частности, для вычисления суммы степенного ряда, сходящегося в точках на границе круга сходимости.

4) А. т. для рядов Дирихле: если Дирихле ряд


сходится в точке то он сходится в полуплоскости и сходится равномерно внутри любого угла Является обобщением А. т. для степенных рядов (достаточно взять и обозначить ). Из теоремы следует, что область сходимости ряда Дирихле - нек-рая полуплоскость где с - абсцисса сходимости ряда.

Для обыкновенного ряда Дирихле с известной асимптотикой для сумматорной функции коэффициентов ряда справедлива следующая теорема: если


где - комплексные числа, - действительное число, то ряд Дирихле сходится при функция регулярно продолжается на полуплоскость исключая точку причем


если


если Здесь - регулярная при функция. Напр., дзета-функция Римана ( ) регулярна по крайней мере в полуплоскости исключая точку в к-рой она имеет полюс 1-го порядка с вычетом, равным 1. Эта теорема допускает различные обобщения. Так, если


где - любые комплексные числа, и то ряд Дирихле сходится при регулярен в области исключая точки в к-рых он имеет алгебраич. или логариф-мич. особенности. Теоремы такого типа позволяют на основании асимптотики получать определенные сведения о поведении ряда Дирихле в нек-рой полуплоскости.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "АБЕЛЯ ТЕОРЕМА" в других словарях:

  • Теорема Абеля — Руффини — Теорема Абеля  Руффини утверждает, что общее уравнение степени n при неразрешимо в радикалах. Содержание 1 Подробности …   Википедия

  • Теорема Абеля — Теорема Абеля  Руффини утверждает, что общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах. Содержание 1 Подробности …   Википедия

  • Теорема Дирихле о рядах — Пусть . Тогда справедливо тождество Абеля (1) Пусть последовательность …   Википедия

  • Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лейбница. Теорема Лейбница (признак Лейбница) теорема об условной сходимости знакочередующихся рядов, сформулированная немецким математиком Лейбницем. Содержание 1 Формулировка 2 Следствие …   Википедия

  • АБЕЛЯ-ПУАССОНА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ — один из методов суммирования рядов Фурье. Ряд Фурье функции суммируется методом Абеля Пуассона в точке j к числу 5, если Если то интеграл в правой части есть гармонич. функция для и, как показал С. Пуассон (S. Poisson), является решением задачи… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Абеля-Руффини — …   Википедия

  • Биномиальная теорема Абеля — Биномиальная теорема Абеля, названа в честь Нильса Хенрика Абеля, выражается в следующем равенстве: Пример m = 2 …   Википедия

  • ОПЕРАТОРНАЯ ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА — общее название теорем о пределе средних по неограниченно удлиняющемуся промежутку времени п=0, 1, . . .,N или для степеней {А п} линейного оператора А , действующего в банаховом (или даже топологическом векторном, см. [5]) пространстве Е, либо… …   Математическая энциклопедия

  • Аппроксимационная теорема Вейерштрасса — В математике аппроксимационной теоремой Вейерштрасса (Стоуна Вейерштрасса) называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на… …   Википедия

  • Основная теорема алгебры — утверждает, что Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Эквивалентная формулировка теоремы следующая: Поле комплексных чисел… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «АБЕЛЯ ТЕОРЕМА» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»