ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ это:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

система бесконечного порядка - бесконечная совокупность дифференциальных уравнений

содержащая бесконечное множество неизвестных функций xk(t), k=1,2, . . ., и их производные. Решением такой системы наз. множество функций {xk(t)}, обращающих все уравнения системы в тождества.

Система (1) наз. счетной, в отличие от несчетной системы

где а пробегает нек-рое несчетное множество значений. Система вида (2) содержит в себе несчетное множество функций {xa(t)}, подлежащих определению, и их производные. Рассматриваются также Д. у., содержащие бесконечное множество неизвестных функций двух и более аргументов и их частные производные.

Начало развитию теории систем Д. у. вида (1) положила работа А. Н. Тихонова [1]. Основным ее результатом является доказательство теоремы существования решения системы (1) в предположении, что ее правые части определены при произвольных значениях х 1, х 2, . . .(), непрерывны по отношению к x1, х 2,... при фиксированном значении t, измеримы по t при фиксированных х 1, х 2,... и ограничены некоторыми суммируемыми на сегменте [t0, t0+a2]. функциями Mi(t), i=1, 2, ... При дополнительных предположениях о выполнении обобщенных условий Липшица

и о сходимости и равномерной ограниченности рядов

доказана теорема единственности решения xi(t), i=1, 2, . . ., системы (1) при заданных начальных условиях такого, что ряд сходится.

Дальнейшее развитие теория счетных систем получила в направлении исследований условий ограниченности решений (см. [2]), аналитической зависимости от параметра, устойчивости по Ляпунову и других свойств решений (см. [2]). Особенно глубоко изучены линейные и квазилинейные счетные системы дифференциальных уравнений.

К изучению систем бесконечного порядка плодотворно применяются операторные методы. Так, например, вместо системы (1) рассматривается операторное уравнение

где x(t)- бесконечномерный вектор нек-рого банахова пространства В, f(t, x)- бесконечномерная вектор-функция со значениями в том же пространстве, производная рассматривается в смысле Фреше. В частности, для уравнения (3) были получены следующие результаты (см. [3]).

Если f(t, x)- ограниченный оператор, то из Выполнения локальной теоремы существования и отрицательности генерального показателя (см. [3]) следует неограниченная продолжимость решений с достаточно близкими к нулю начальными значениями.

Если (где А- бесконечномерная постоянная матрица) - ограниченный оператор, то в гильбертовом пространстве ограниченность всех решений при имеет место тогда и только тогда, когда оператор Аподобен косоэрмитову. В этом же случае найдено явное выражение решения задачи Коши с начальными условиями x(t0)=x0 в виде

где е Аt- операторная экспонента. Если

где Аимеет прежнее значение, a f(t)- непрерывная T-периодическая вектор-функция, то существует единственное периодическое решение, когда спектр s(А)оператора Ане содержит точек мнимой оси 2kpi/Т, k=0,1, 2, ... Для случая

найдены условия устойчивости по Ляпунову в нуле в виде требования

при достаточно малом q>0 и расположении спектра оператора Ав левой открытой полуплоскости.

Лит.:[1] Тихонов А. Н., "Матем. сб.", 1934, т. 41, в. 4, с. 551-60; [2] Валеев К. Г., Жаутыков О. А., Бесконечные системы дифференциальных уравнений, А.-А., 1974; [3] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970.

И. П. Макаров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" в других словарях:

  • дифференциальные уравнения — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] дифференциальные уравнения Уравнения, предназначенные для выражения соотношений не только между отдельно взятыми величинами, но и между их изменениями. Это уравнения, в той или …   Справочник технического переводчика

  • Дифференциальные уравнения — Дифференциальные уравнения [differential equations] уравнения, предназначенные для выражения соотношений не только между отдельно взятыми величинами, но и между их изменениями. Это уравнения, в той или иной форме связывающие независимые… …   Экономико-математический словарь

  • Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения         уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… …   Большая советская энциклопедия

  • Дифференциальные уравнения — I Дифференциальные уравнения         уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… …   Большая советская энциклопедия

  • Дифференциальные уравнения — Дифференциальное уравнение  в математике это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи… …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с… …   Энциклопедия Кольера

  • Дифференциальные уравнения — (мат.) Д. называются такие уравнения, которые дают зависимость между независимыми переменными, их функциями и производными этих функций по их независимым переменным. Например, пусть будет х независимая переменная, а у ее функция; тогда уравнение… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — ур ния, связывающие неизвестные ф ции, их производные (или дифференциалы) и независимые переменные. Д. у. делятся на обыкновенные Д. у., в к рых неизвестные ф ции зависят от одного переменного, и Д. у. с частными производными, в к рых неизвестные …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом —         уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений (См. Дифференциальные уравнения)). Примерами могут… …   Большая советская энциклопедия

  • Дифференциальные уравнения (журнал) — «Дифференциальные уравнения»  ежемесячный математический журнал, посвященный дифференциальным уравнениям и связанным с ними интегро дифференциальным, интегральным уравнениями, а также уравнениям в конечных разностях. Издаётся с… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»