ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

- дифференциальное уравнение, связывающее аргумент, искомую функцию и ее производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента. Примеры:

где постоянные а, t, kзаданы; т в уравнении (1) и t-kt в уравнении (2) - отклонения аргумента. Встречаются и более сложные Д. у. с о. а., включающие большее число отклонений аргумента,. могущих представлять собой заданные функции (в частности, если они постоянны, то уравнение часто наз. дифференциально-разностным) или даже зависеть от искомого решения. Эпизодически рассматривались также Д. у. с о. а., в к-рых искомая функция зависит более чем от одного аргумента. Д. у. с о. а. впервые появились в связи с формальным решением уравнений с частными производными и затем неоднократно рассматривались как сами по себе, так и в связи с задачами геометрии, а позднее - в связи с различными приложениями, прежде всего к теории автоматич. управления. Построение систематич. теории Д. у. с о. а. было начато в 1949.

Определение Д. у. с о. а. допускает любые суперпозиции искомого решения [типа x(x(t))]и интегралы от него, поэтому формально класс Д. у. с о. а. включает в себя все уравнения математич. анализа. Все же обычно, говоря о Д. у. с о. а., имеют в виду тот или иной естественный класс дифференциальных уравнений, в к-рых введено отклонение аргумента, допускающее построение содержательной теории. При этом ряд свойств Д. у. с о. а. имеет непосредственную аналогию со свойствами обычных дифференциальных уравнений, тогда как иные свойства являются принципиально новыми.

Уравнение (или система уравнений)

(для системы хи f - векторы), где все t_j>0, наз. уравнением (системой) запаздывающего, нейтрального или опережающего типа, если max_jm_j<n, =n,>n, соответственно. Для уравнений иных видов такая классификация проводится на основе преобразования к виду (3) с помощью замены c - возрастающая функция; напр., уравнение (1) запаздывающего типа при t>0 и опережающего (замена ) - при t<0.

Если отклонения t_j зависят от t, то уравнение (3) может менять тип; напр., уравнение (2) для запаздывающего типа при и опережающего - при t<0. Если t_j зависят от искомого решения, то уравнение (3) может иметь различный тип для различных его решений. Наиболее подробно разработана теория Д. у. с о. а. запаздывающего типа, менее - нейтрального типа и почти не изучена теория уравнений опережающего типа.

Один из простейших классов Д. у. с о. а. следующий:

Для этого класса Д. у. с о. а. ставится основная начальная задача: заданы начальная точка t₀, начальная функция j(t), и значение x(t₀+0); под решением задачи для уравнения (4) понимается функция x(t), t>t₀, обращающая уравнение (4) в тождество, причем' при t>t₀, в правую часть вместо x(t-t) надо подставлять j(t-t). Для решения поставленной задачи можно применить метод шагов: при решают начальную задачу для уравнения (4), в к-ром вместо x(t-t) подставлено j(t-t); при будет t_o<t-tt₀+т, т. е. x(t-t) уже построено, и т. д.; таким образом, на каждом шаге приходится решать задачу Коши для уравнения без отклонения аргумента. Если функции f и j непрерывны и x(t₀+0)=j(t₀), то решение задачи существует на нек-ром интервале и может быть продолжено обычным образом, а если функция f(t, х, у )удовлетворяет по хусловию Липшица, то это решение единственно и непрерывно зависит от f, ф, т. Если при этом функция f достаточно гладкая, то х' (t)непрерывна при t>t₀, x"(t)непрерывна при t>t₀+t и т. д. (свойство сглаживания).

Аналогично ставится начальная задача и строится решение для систем уравнений вида (4) и для уравнений высших порядков. В случае нескольких запаздываний за шаг принимают наименьшее из них. Если t=t(t), то j(t) должна быть задана на всем начальном множестве значений t>t₀. Наличие у x(t)нулей препятствует применению метода шагов, однако с помощью простых аппроксимационных или итерационных методов можно доказать теорему о разрешимости начальной задачи, аналогичную приведенной выше. Численные методы ее решения в принципе те же, что для Если заданные функции разрывны или то понятие решения должно быть естественно обобщено.

Решение сформулированной начальной задачи строится только в направлении возрастания t. Другая ее особенность состоит в том, что многообразие решений при произвольной j(t), вообще говоря, бесконечномерное. (Исключением служат уравнения беа предыстории, для к-рых при ; напр., уравнение (2) при t₀=0.) Это существенно отличает теорию Д. у. с о. а. от теории уравнений без отклонения аргумента.

В уравнении (4) запаздывание сосредоточенное. Рассматриваются также уравнения с распределенным запаздыванием, правая часть к-рьм включает интегралы

(это - интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра) или, комбинированный случай,

и т. п. Наиболее общим видом Д. у. с о. а. запаздывающего типа 1-го порядка служит дифференциально-функциональное уравнение типа Вольтерра

где правая часть при каждом t>t₀ представляет coбoй функционал. И для таких уравнений начальная задача разрешима.

Для Д. у. с о. а. нейтрального типа, напр.

постановка и свойства начальной задачи аналогичны указанным выше, однако свойство сглаживания отсутствует; кроме того, возможны осложнения, если переменное запаздывание t₂(t) имеет нули. Начальная задача для Д. у. с о. а. опережающего типа является некорректной.

Лучше других изучены линейные автономные (т. е с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента) Д. у. с о. а. Уравнение (бе; подобных членов)

(все а _j неравны 0) имеет частные решения x=e^pt, где рудовлетворяет характеристическому уравнению

Здесь Р(р)- квазиполином; k-кратному корню уравнения (6) отвечают решения e^pt,. .., t^k-1e^pt уравнения (5). Если хотя бы одно то уравнение (6) имеет бесконечное число корней р ₁, р ₂, ... Чтобы уравнение (5) имело запаздывающий (нейтральный) тип, необходимо и достаточно условие

В этих случаях каждое решение уравнения (5) разлагается в ряд по указанным частным решениям, а при решении начальной задачи для уравнения (5) и соответствующего неоднородного уравнения можно пользоваться обычными методами операционного исчисления. Аналогичными свойствами обладают системы уравнений и уравнения с распределенным запаздыванием.

Обычные определения устойчивости решения непосредственно распространяются на Д. у. с о. а. запаздывающего и нейтрального типов. Для асимптотич. устойчивости решений уравнения (5) необходимо и достаточно условие:

При выполнении этого условия асимптотически устойчиво и нулевое решение нелинейных автономных уравнений, для к-рых (5) служит линейным приближением.

Метод функций Ляпунова на исследование устойчивости Д. у. с о. а. распространил Н. Н. Красовский [5]. Он предложил пользоваться функционалами V[y(s); t]в полную производную такого функционала "вдоль решения" заданного уравнения вида (4) можно вычислить в силу этого уравнения, и она представляет собой функционал того же типа, т. е.

Аналог теоремы Ляпунова об устойчивости: если

то тривиальное решение уравнения (4) устойчиво. Основные теоремы об устойчивости, выраженные в таких терминах, допускают обращение.

Ряд результатов получен для периодических Д. у. с о. а. Так, если

то неподвижные точки оператора

x(t) - решение уравнения (4) при начальной функции j; k- натуральное) определяют kT-периодич. решения уравнения (4). Этот и другие аналогичные факты дают возможность применить к отысканию периодич. решений и к выяснению их устойчивости методы теории нелинейных операторов. Для линейных однородных Т-периодич. Д. у. с о. а. запаздывающего типа доказана возможность аппроксимации каждого решения с любой степенью точности по шкале экспонент линейной комбинацией решений вида

Из других направлений исследования Д. у. с о. а. выделяются: детальное изучение асимптотических и осцилляционных свойств уравнений

и аналогичных уравнений 2-го порядка; получение асимптотич. выражений для решений систем с малыми отклонениями аргумента или с малой нелинейностью; распространение на Д. у. с о. а. асимптотич. методов Крылова - Боголюбова (см. Крылова- Боголюбова метод усреднения);распространение на Д. у. с о. а. теории оптимального управления Л. С. Понтрягина (см. Оптимального управления математическая теория);исследование краевых задач; исследование эволюционных уравнений с частными производными и запаздыванием во времени; исследование стохастич. Д. у. с о. а. (см. Стохастическое дифференциальное уравнение )и т. д.

Лит.:[1] Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, М., 1971; [2] Пинни Э., Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения, пер. сангл., М., 1961; [3] Беллман Р., Кук К. Л., Дифференциально-разностные уравнения, пер. с англ., М., 1967; [4] Мышкис А. Д.. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, 2 изд., М., 1972; [5] Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движения, М., 1959; [6] Норкин С. Б., Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом, М., 1965; [7] Рубаник В. П., Колебания квазилинейных систем с запаздыванием, М., 1969; 18] Оguztorеli M. N., Time-Lag control systems, N. Y.- L., 1966; [9] Halanау A., Differential equations, N.Y.- L., 1966; [10] Hale J. K., Functional differential equations, N. Y., 1971.

А. Д. Мышкис.